【問題】古早古早的悖論

[雷燄 10]

是阿

就是這樣

不過古代人沒有微觀的觀念

[daniu7365 10]

恩, 楼上同学说的就是咱们祖先曾提出的哲学问题了: "一尺之棰,日取其半,万世不竭" 因此在形式逻辑的运用中,即使起点是正确的,也不能迷信三段论和形式逻辑.对一个复杂问题,不能从一个正确的结论试图推导出正确的结论，而且推导的步骤越多,那么逻辑的失真程度可能越大,甚至可以得出很荒唐的结论.再加上在形式逻辑的思维中我们难以找到正确和错误的边界的.因此我想也需要我们进行多种角度和形式的思考与观察的

[*~花小麟~* 10]

我記得這是數學課本上面的題目很相近

不過他是說 阿基里斯 跑的距離 = 他離烏龜的一半

也就是說 他一直跑與烏龜差一半的距離

如果題目是這樣 = 追不上

如果題目是像你這樣子的話 應該是追的上 0.0 ~

以上為白目小花理論 |||

[天譴．白爛 10]

人類的煩惱有99%都是不必要的

BC的距離一定比AB短，而CD的距離又要比BC更短一點

但是人與烏龜的速度都是恆定的阿!!!

所以，越到後面點與點之間的時間越短，短到可以讓兩三步就超越的烏龜永遠領先人

問題出在本題故意讓加上來的時間往無限小邁進，以至於時間不夠用，無法追上烏龜

時間夠了就追上了，這麼簡單，用不著數學的..哈哈哈= =

[coffeeboy37 10]

基本上以下是我的論點(好久沒上論壇了~~~!就看到一篇挺好玩的文^^)

假設1.A與B差1公尺 而B落後

2.B在1秒後可追上A

3.在1秒過後 B會跑在A的前面

跟題目差不多吧~~~!(我是這麼覺得啦^^)

前面的文章都在談等比 那就來談等比囉!

因為等比的關係 1/2 + 1/4 + 1/8 +................................= 一個趨近於1的數字

那簡單來說 那所謂的無限 只限定在1秒內

而在1秒後 B必超越於A 卻是個無法改變的事實

SO 我認為有沒有限定時間有限沒差吧~~~! 要無限時間是吧??

那1+2+3+4+5+......................= 一個比你想像中最大的數字更大

這樣夠多啦~~~! 但是 終究是會通過那一秒的

B超越A是一定的

[Sathla 10]

最初由 九天驚虹 發表

假設某個物體運動的位置時間圖(x-t圖)可以表成

f(t)=t^2+1

那請問，在5秒時，此物體的位置是？

f(t)=5^2+1=26

所以在五秒這個瞬間，

物體的位置是在26這一點。

運動中的物體不可能有哪一個.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

我想應該沒有東西會停留在同一位置上

我們看到的都是相對靜止的

最初由 雷燄 發表

那麼這個古早的悖論如何呢？

我們取一根木棍

切一半變1/2

再切一半變1/4

繼續切

1/8

/16

.

.

.

.

這樣下去會有完結嗎？

(嘿嘿，其實我知道破解方法)

最多切割成原子就不能在切割了吧

應該是吧

[dreamboat 10]

應該說 每更新一次的距離 越來越短 以致於追不上

但是..時間也會永遠追不上一個點...當時間 或距離 其中之一達到相等

哪樣 兩者會同時滿足並行的條件

國中想過以前老師解釋不懂

後來上哲學課 再看了一次 超級立方體 就懂了

[×× 空 ×× 10]

其實這是在描述＂ｍｉｎ接近烏龜時的時間＂

並不是追不上唷

[williamchan 10]

聽過了~蠻有趣的.

不過將現實存在的事, 用理論去推翻實在是大膽得過份.

[洛城落楓~獸風 10]

最初由 ckmarkhsu 發表

其實我看不出有什麼悖論 耶XD

他只有說他們距離會縮短

沒有說永遠不會超越阿

照上面的敘述來看

注定會超越的阿~~~

對阿~如果阿基里斯的速度~一直大於烏龜~

早晚會超過的啦~~~怎麼會追不過呢???

[順利過完每一天~ 10]

我可以證明古希臘的人士對的

話說阿基里斯在追一隻烏龜...

阿基里斯的起跑點在a..而烏龜的起跑點在a前面的b...

當阿基里斯跑到b的時候...烏龜已經跑到更前面一點的c...

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

當然...因為阿基里斯是跑的比較快的...所以他和烏龜的距離已經縮短了一點

↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑

不過當阿基里斯跑到c的時候...烏龜又已經跑到更前面一點的d...

而當阿基里斯跑到d的時候...烏龜又已經跑到更前面一點的e..

理論上來講...阿基里斯與烏龜的距離會越來越短...可是永遠不會等於零...

換句話說...雖然阿基里斯跑得比烏龜快...可是他永遠追不上烏龜...

出自伊利亞的齊諾...

----------------------------------------------

為什麼當然? 阿基李斯憑什麼比烏龜快?........好了....請噓吧....

[清純小百合 10]

相距的距離越來越小 在兩個物體相等的速度(一大一小)下 到下一次距離更小時 花的時間又更小 所以距離趨近於零時 時間的增加也趨近於零 理論上是跑不完的 但是時間一直在跑 他在距離非常小的時候 那個時間根本沒人察覺的出來 我們看到的是 速度快的跑過速度慢的 在距離= 0的時候我們可以準確算出其時間(問題就卡在古人要去追究那個無止盡 那個無止盡其實就侷限在我們可以看到的事實"距離=0") 之後的時間 當然是速度快的跑過速度慢的

個人想法

[清新旋律 10]

理論上來講...阿基里斯與烏龜的距離會越來越短...可是永遠不會等於零...

換句話說...雖然阿基里斯跑得比烏龜快...可是他永遠追不上烏龜...

回歸原題，我覺得光是題目的定義就沒有說清楚。

例如說「理論上來講」就是一個相當模糊的推論。什麼叫做「可是永遠不會等於零」？題目憑什麼推斷至此？

他並沒有「窮舉」世界上所有的時間所堆砌起來的標記時刻。

[白鹿 11]

回歸原題，我覺得光是題目的定義就沒有說清楚。

例如說「理論上來講」就是一個相當模糊的推論。什麼叫做「可是永遠不會等於零」？題目憑什麼推斷至此？

他並沒有「窮舉」世界上所有的時間所堆砌起來的標記時刻。

你所質疑的那兩句話，是推論當中的的結論。

＂理論上來講＂指的是＂根據前面的推論＂

＂可是永遠不會等於零＂是根據前面推論得出的結果。

這個論證的結論當然是錯誤的，不過要推翻論證，應該指出來的是推論過程當中哪裡出了問題。

回歸原題，題目是有定義清楚的。請不要忽略推論過程直接攻擊結論，這樣不太有禮貌。

[九天驚虹 10]

作者: 白鹿

理論上來講...阿基里斯與烏龜的距離會越來越短...可是永遠不會等於零...

換句話說...雖然阿基里斯跑得比烏龜快...可是他永遠追不上烏龜...

如果其距離會越來越短 可是永遠不會等於零

這句話能否成立?

不會等於零

那是因為

眼光只執著於有限的情形

可是

如果當這過程持續下去

他是可以追上的

舉一個簡單的例子

1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

能不能加到1?

說追不上的人

會說加不到

確實 在有限項的情形下

加不到

但如果你將想成長度為1的紙

不斷地將其減半 (一直讓這過程持續)

然後 再將這些小紙片匯集起來

長度仍然是1

不是嗎?

因此如果讓他一直跑

還是會追上的

關於這追不上的錯覺

是因為在其追上前

將這過程不斷的切割

如同將那紙片切割

[清新旋律 10]

你所質疑的那兩句話，是推論當中的的結論。

＂理論上來講＂指的是＂根據前面的推論＂

＂可是永遠不會等於零＂是根據前面推論得出的結果。

這個論證的結論當然是錯誤的，不過要推翻論證，應該指出來的是推論過程當中哪裡出了問題。

回歸原題，題目是有定義清楚的。請不要忽略推論過程直接攻擊結論，這樣不太有禮貌。

以下是原題目。

話說阿基里斯在追一隻烏龜...

阿基里斯的起跑點在a..而烏龜的起跑點在a前面的b...

當阿基里斯跑到b的時候...烏龜已經跑到更前面一點的c...

當然...因為阿基里斯是跑的比較快的...所以他和烏龜的距離已經縮短了一點

不過當阿基里斯跑到c的時候...烏龜又已經跑到更前面一點的d...

而當阿基里斯跑到d的時候...烏龜又已經跑到更前面一點的e..

理論上來講...阿基里斯與烏龜的距離會越來越短...可是永遠不會等於零...

換句話說...雖然阿基里斯跑得比烏龜快...可是他永遠追不上烏龜...

請明確指出你題目「定義清楚」之處在哪裡，並且

我看到的是一段敘述後，直接跳至「理論上來講」以及許多不完整的刪節號（只有三點）

因此我不覺得有任何不禮貌之處。

我更沒有攻擊行為。不過我所使用的是生物學上的定義，哲學上對「攻擊」的定義我不清楚。

[KANA 10]

以前曾經看過一個類似的問題：

一位著名的長跑選手參加一場馬拉松比賽，他花了一段時間（假設Ａ）跑到了賽程的中點，不過這時他有點累了，接下來花了同樣的時間Ａ卻只跑到了剩下的一半距離（換句話說是全賽程的四分之三），之後以此類推……同樣時間Ａ卻只跑了上次距離的一半。請問這位選手能到終點嗎？

以下是在下我的理解：

１、同樣時間下，跑的距離呈等比級數遞減。

２、同樣時間下，跑的距離呈等比級數遞減，反推回來，選手的速率亦呈等比級數下降。（時間分之距離等於速率）

將兩項現象推到極限值：

３、距離將無限接近終點（但並不等於終點，也就是尚未抵達），４、選手速率也無限接近零（不等於靜止不動，只是極小的速率）。

由３看來，選手永遠無法抵達終點，因為賽程已被二分之一無限切割；換句話說，選手在問題背後的目標其實是那被分割的二分之一（正確說來，這是數字的迷思：「二分之一的無線次分會等於零嗎？」）所以回到問題，雖然終點近在眼前，可是選手的卻只能巴眼望著，因為他還有無限個「二分之一」要經過。

回到樓主問題：

阿基里斯追逐的烏龜恰如上述問題的終點（只是會移動）。因為「１、阿基里斯的速率大於烏龜」，所以阿基里斯與烏龜將會接近，但是在「２、烏龜永遠在阿基里斯的前面」的情況下，阿基里斯永遠無法超越烏龜。

將兩個問題合在一起，我的結論：

以上兩個問題的關鍵在於「實際值」的「無限切割」後所得到的「極值」是否會等於零，純屬數字上的迷思。所謂的超越，其表示形式為：「對於作為原點的標的（烏龜），對方物（跑者阿基里斯）由原來的正值（阿基里斯追逐烏龜）變成負值（阿基里斯超越烏龜）」但是由於正值被無限切割，所以兩物相距永遠無法等於零。

[白鹿 11]

請明確指出你題目「定義清楚」之處在哪裡，並且

我看到的是一段敘述後，直接跳至「理論上來講」以及許多不完整的刪節號（只有三點）

因此我不覺得有任何不禮貌之處。

我更沒有攻擊行為。不過我所使用的是生物學上的定義，哲學上對「攻擊」的定義我不清楚。

好阿:)

那我改成這樣

話說阿基里斯在追一隻烏龜...

阿基里斯的起跑點在a..而烏龜的起跑點在a前面的b...

當阿基里斯跑到b的時候...烏龜已經跑到更前面一點的c...

當然...因為阿基里斯是跑的比較快的...所以他和烏龜的距離已經縮短了一點

不過當阿基里斯跑到c的時候...烏龜又已經跑到更前面一點的d...

而當阿基里斯跑到d的時候...烏龜又已經跑到更前面一點的e..

如此，阿基里斯與烏龜的距離會越來越短...可是永遠不會等於零...

換句話說...雖然阿基里斯跑得比烏龜快...可是他永遠追不上烏龜...

那個＂攻擊＂的意思，相當於＂反駁＂。

唔，如果你希望我講清楚一點，如下：

只要原來烏龜在阿基里斯前面，阿基里斯要跑到烏龜先前所在的位置，需要一點時間。

這一點時間足夠烏龜前進一點距離。

當阿基里斯跑到烏龜先前所在的位置時，烏龜已經不在那個位置，所以阿基里斯追不上烏龜，烏龜還是在阿基里斯前面。

雖然數學好的人都堅持他們的距離（在等比級數遞減之後？）最後會變成零，

不過我好奇這個＂零＂到底是真的會發生的（但是1/2自乘無限多次也不會真的等於零不是嗎？），還是數學家為了計算方便而假定的近似值？（就像無限大分之N等於零（？））

[九天驚虹 10]

雖然數學好的人都堅持他們的距離（在等比級數遞減之後？）最後會變成零，

不過我好奇這個＂零＂到底是真的會發生的（但是1/2自乘無限多次也不會真的等於零不是嗎？），還是數學家為了計算方便而假定的近似值？（就像無限大分之N等於零（？））

1/2 自乘無限多次是零

而這是屬於無窮大,無窮小的分析方法

一般我們所學的微積分 是架構在極限的基礎上

因此 若在這套理論下 應該這麼敘述

(1/2)^n 當n趨近無窮大時,(1/2)^n的極限是零

另外,要注意的是,無窮大不是一個數,它不存於實數當中,

在這裡,所謂的無窮大 在這裡是辦不到的

要是我記得沒錯,在這裡的無窮大是一種潛無窮

[白鹿 11]

在這裡,所謂的無窮大 在這裡是辦不到的

要是我記得沒錯,在這裡的無窮大是一種潛無窮

這樣押，那潛無窮是什麼意思呢？

[訪客]

他是第一直設定成烏龜當時的點位置來當移動目標，然後到達那個點時再重新校正烏龜的新位置，所以：

1.最後距離很小時，因為設定目標需要時間，所以永遠追不上，會保持在一定距離。

2.如果說可以很快定好目標（像那個可以超快開開關關的燈），因為烏龜不是等速運動，而是一步一步，所以可以趁他沒有動下一步時追到。

3.就算設定烏龜是等速運動，距離小到一定程度的時候人沒辦法控制那麼精細，就會碰到烏龜。

4.就算Achilles是神，不會跑太遠而碰到烏龜，在到達分子尺度的時候就等同於沒有距離。

5.如果是完美的狀況，那就可以用數學表示，那就沒有問題了。

[九天驚虹 10]

這樣押，那潛無窮是什麼意思呢？

對於無窮大 有兩派的看法

一種是 實無窮 一種是潛無窮

實無窮 認為 無窮大是一個確實存在的實體

潛無窮 認為 無窮大是一個不斷發展的過程

一般按正規的方法學習微積分 是不會碰到無窮的概念

因為現代的微積分(也是主流) 是建構在極限的理論上

在極限的看法

所謂的無窮大 是一群愈來愈大的數的極限

但在牛頓,萊布尼茲剛發現微積分時 採用的思維方式是

利用無窮大與無窮小的方式(較直觀,不過也出現了許多矛盾)發展

[白鹿 11]

他是第一直設定成烏龜當時的點位置來當移動目標，然後到達那個點時再重新校正烏龜的新位置，所以：

1.最後距離很小時，因為設定目標需要時間，所以永遠追不上，會保持在一定距離。

2.如果說可以很快定好目標（像那個可以超快開開關關的燈），因為烏龜不是等速運動，而是一步一步，所以可以趁他沒有動下一步時追到。

3.就算設定烏龜是等速運動，距離小到一定程度的時候人沒辦法控制那麼精細，就會碰到烏龜。

4.就算Achilles是神，不會跑太遠而碰到烏龜，在到達分子尺度的時候就等同於沒有距離。

5.如果是完美的狀況，那就可以用數學表示，那就沒有問題了。

我覺得...你提到的點都不是問題啊...

你腦袋很清楚，自己想一想應該可以想通。

對於無窮大 有兩派的看法

一種是 實無窮 一種是潛無窮

實無窮 認為 無窮大是一個確實存在的實體

潛無窮 認為 無窮大是一個不斷發展的過程

一般按正規的方法學習微積分 是不會碰到無窮的概念

因為現代的微積分(也是主流) 是建構在極限的理論上

在極限的看法

所謂的無窮大 是一群愈來愈大的數的極限

但在牛頓,萊布尼茲剛發現微積分時 採用的思維方式是

利用無窮大與無窮小的方式(較直觀,不過也出現了許多矛盾)發展

我只看得懂前三句 囧...

一個主張無窮是實無窮的人，是不是也會主張我們算出來的極值不是近似值呢？

另外，借版說一下話：

我覺得奇怪的是，如果是以下的狀況：

P：假設阿基里斯每天中午12點都會詳細目測他和烏龜之間的距離，並且在晚上12點向烏龜移動這個距離的1/2。

幾乎每個人都會同意，如果是P這個case，他們之間的距離只會越來越接近，最後到達從常識看來根本已經碰到的地步，但是阿基里斯永遠無法越過烏龜。

但是對於經過巧妙的敘述而使得情況變成和P一樣的原PO，大家卻又有不一樣的看法（極值是零阿！然後就越過了！）。

然後，使我驚訝的是，幾乎沒有人看出來，事實上問題是出在阿基里斯追烏龜的過程根本不能被reduce成任何和P相同形式的case，而不是對於任何和P相同形式的case，阿基里斯最後都會越過烏龜。

為什麼沒有人肯給點面子看一下原PO補充的資料呢...

[coffeeboy37 10]

請證明時間會停止

請證明時間不會向前走 而永遠在那所謂片段的時間裡走動

[九天驚虹 10]

我覺得...你提到的點都不是問題啊...

你腦袋很清楚，自己想一想應該可以想通。

我只看得懂前三句 囧...

一個主張無窮是實無窮的人，是不是也會主張我們算出來的極值不是近似值呢？

不管是以無窮大無窮小為基礎所建立的微積分

或者是以極限為基礎所建立的微積分

它們都是絕對精確的 沒有所謂的近似

以面積為例

假設現今有一個不規則的曲線

如果人們的要求 只要近似/接近就好

那麼 我們就只能停留在利用簡單圖形的面積(如三角形 長方形)去逼近實際的面積

而卻沒有辦法得知真正的面積的值

但利用微積分 我們確實能計算出真正的面積是多少

或是隨著我們的喜好任意地的逼近真正的值