【問題】古早古早的悖論

[白鹿 11]

話說阿基里斯在追一隻烏龜...

阿基里斯的起跑點在a..而烏龜的起跑點在a前面的b...

當阿基里斯跑到b的時候...烏龜已經跑到更前面一點的c...

當然...因為阿基里斯是跑的比較快的...所以他和烏龜的距離已經縮短了一點

不過當阿基里斯跑到c的時候...烏龜又已經跑到更前面一點的d...

而當阿基里斯跑到d的時候...烏龜又已經跑到更前面一點的e..

理論上來講...阿基里斯與烏龜的距離會越來越短...可是永遠不會等於零...

換句話說...雖然阿基里斯跑得比烏龜快...可是他永遠追不上烏龜...

出自伊利亞的齊諾...

.

20060404編輯時加入以下：

下面是科學人雜誌網站上對於對這個悖論的新解釋的舊報導，僅供參考。

林玆...所持的基本論點是，對運動中的物體而言，並沒有所謂的「任一時刻會位於某

個確定位置」，因為物體的位置會隨時間不停地改變。他解釋道︰「這樣想應該比較

能夠理解，無論時間間隔多麼小，或者物體在某段時間間隔中運動得有多慢，它還是

在運動狀態中，位置還是不斷在改變，因此，無論時間間隔有多短，運動物體沒有所

謂在任一時刻、某一瞬間擁有確定的相對位置這回事。」

從芝諾到牛頓乃至於今天的物理學家，在討論運動的本質時，無不假設「運動中的物

體之間具有確定的相對位置」，而林茲則認為，便是因為假設時間可以凍結在任一時

刻，此時運動中的物體位在一個確定的位置上，因此芝諾弔詭中那種不可能發生的情

況才會成立。

林玆也指出，無論如何，某段時間間隔一定可以用一個時間範圍來表示，不能只說是

「一瞬間」的單一時刻︰「舉例來說，如果有兩個獨立事件分別測得發生在1小時或

10秒鐘，這兩個數值應是指兩事件分別發生在1~1.99999…小時之間，以及

10~10.0099999…秒之間。」因此，林玆可以很直接地解決類似「飛矢弔詭」的問

題。一位著名的牛津大學數學家評論道︰「這真令人既驚訝又意外，不過他是對

的。」

摘自科學人雜誌網站，撰文/王心瑩

http://www.sciam.com.tw/news/newsshow.asp?FDocNo=271&CL=14

[ckmarkhsu 7]

其實我看不出有什麼悖論 耶XD

他只有說他們距離會縮短

沒有說永遠不會超越阿

照上面的敘述來看

注定會超越的阿~~~

[訪客]

古希臘人的觀念

有無限個小段落要跑過，就需要無限的時間

他們沒有無限等比級數的值有限的觀念

[白鹿 11]

最初由 ckmarkhsu 發表

其實我看不出有什麼悖論 耶XD

他只有說他們距離會縮短

沒有說永遠不會超越阿

照上面的敘述來看

注定會超越的阿~~~

^^

最初由 白鹿 發表

理論上來講...阿基里斯與烏龜的距離會越來越短...可是永遠不會等於零...

要超越的話..得先追上...得先讓彼此之間的距離等於零

[白鹿 11]

最初由 justinyeh 發表

古希臘人的觀念

有無限個小段落要跑過，就需要無限的時間

他們沒有無限等比級數的值有限的觀念

歹勢...

無限等比級數的有限値無法解決這個問題喔...

就算値有限(再說...他的値並不是真的固定吧...只是隨著級數來越多而越來越接近一某個數而已...)..也無法解決下面這個問題....

設N為1/2..N2為1/3...N3為1/4.........N(無限大)等於1/(無限大).....

從等比級數的觀點看...到了最後也只是"近似於零"...並不會"等於零"...(也就是說..還沒追上..)

這個問題自古一來一直是用等比級數在試圖解釋的...

真正的解法似乎最近才被發現...

[一切從零開始 10]

我聽說這個問題的錯誤是

時間跟距離都是有限的

而無限個有限累加起來可以是有限的

[iakotwdb 10]

最初由 白鹿 發表

理論上來講...阿基里斯與烏龜的距離會越來越短...可是永遠不會等於零...

換句話說...雖然阿基里斯跑得比烏龜快...可是他永遠追不上烏龜...

這兩句應該是原文還是你自己想的阿???

其實這問題沒有那麼難啦...

依照上面的意思是在有限的時間內

無限的縮小前進的時間單位

不過時間當然不是有限的

只要比賽時間超過了這段有限的時間

人就追上烏龜啦

結論就是：遲早會追到!!!

而多久會追到則受到人和烏龜的速度差以及一開始的差距影響

[iakotwdb 10]

其實我講的也就是前面同學提到的

無限等比級數(不斷縮小前進的時間)的值有限(總合的時間)

[白鹿 11]

呃...還要再提一次嗎??

如果沒有抓到上述理論的漏洞...他們之間的距離就會像等比數列...永遠到不了零...

並不是時間有限或無限的問題....回答因為時間無限所以一定追的到的人...只是單純地忽視了等比數列的極値不可能等於零的事實...而錯把等比級數的値當作真的可以求得的自然數(而不是近似値...)...

(那兩行並不是我想的...想要找詳細資料可以查詢任何一本完整的西方哲學史中有關古希臘伊利亞派齊諾的部分...><)

[iakotwdb 10]

最初由 白鹿 發表

呃...還要再提一次嗎??

如果沒有抓到上述理論的漏洞...他們之間的距離就會像等比數列...永遠到不了零...

並不是時間有限或無限的問題....回答因為時間無限所以一定追的到的人...只是單純地忽視了等比數列的極&.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

我想你並沒有搞懂我的意思

我從來都沒有說極值會是0

也沒有說無窮等比級數的和是可以求得的自然數

我所強調的是它的值是有限的

依照原敘述的因的確會推得最後2句的果

不過這原敘述是不符合事實的

因為時間的確不是有限的

舉個例子說明：

V人=20km/hr

V龜=10km/hr

一開始人龜相距(即a到b)25km

1hr後人進20km龜進10km

人龜相距15km

1+1/2hr後人進10km龜進5km

人龜相距10km

1+1/2+1/4hr後人進5km龜進2.5km

人龜相距7.5km

...

此即所謂的兩者差距越來越小

卻又永遠追不到

但原因就是我們所說1+1/2+1/4+...會趨近於2

若這追逐只能持續2小時那就追不到了

但事實上時間不是有限的

所以才說遲早會追到(像此例會於2.5hr時追到)

[白鹿 11]

嗯^^..你解釋得頗清楚的

但是原敘述並沒有主張時間有限...

你舉的例子的確解釋了符合常理的觀念(廢話...如果你舉的例子也得到和我一樣的結論..這就不叫悖論了XD...)...但是仍然沒有說出"原敘述"的錯誤在哪裡...

就像是如果你把你的例子使用跟我一樣的方式排下去...你也會得到一個"距離越來越進可是永遠不等於零"的結果...

雖然可以算出阿基理斯在2.5hr的時候追上烏龜...在原敘述中你卻還是無法解釋阿基里斯和烏龜的距離是如何由"無限小"變成"零"的....

我們都知道阿基理斯一定會"tough"到烏龜的...

可是在 "距離越來越小但永遠不等於零" 的這個雖然有著一個關鍵性錯誤可是目前沒有人發現的前提之下....他永遠無法伸出那隻手....

[iakotwdb 10]

恩...原敘述的確沒有直接主張時間有限

所以說現在的爭議就在於時間到底是不是有限的

也就是說你覺得：

因為無窮等比級數的極值永遠不等於0

所以一直加時間的和就會是無限

以致於人和龜的距離只會越來越接近0

所以說如今的問題可以簡化成

無窮等比級數的和會是有限值還是無限大???(其中0<公比<1)

現在的中學是"定義"成有限

但還是無法說明

那麼就交給有興趣的人士鑽研吧!!!

[訪客]

我之前看過一題

那題是說一個運動員以每秒一公尺的速度跑向100公尺外的終點，中間有無限多個一半的距離要過（50,25,12.5,6.25......）所以永遠跑不完。但是其實只要100秒就可以到達，因為比較短的距離所需要的時間也比較短。

這一題其實可以把兩者的速度都一起減掉烏龜的速度，不動的烏龜就相當於終點，阿基理斯就相當於跑者。

其實我覺得我前面那個回覆講等比級數是有點不清楚，我是指到目標所需的時間可以當成無窮等比級數計算，不是指到烏龜的距離。

[白鹿 11]

嗯..其實我覺得癥結不在於時間或等比級數的値是有限或無限...

而是...

如果說我這樣推論...

[阿基理斯要追到烏龜必定得先跑到烏龜先前所在的一點...而阿基理斯跑到烏龜先前所在的一點是需要一點時間的...這段時間足夠烏龜前往下一點]

得到這樣的結論...

[阿基理斯和烏龜的距離只會越來越趨近於零...]

和

我這樣推論..

[設阿基里斯起始點為A..速度為B...烏龜起始點為C..速度為D...]

得到這樣的結論

[則阿基里斯與烏龜之間的距離會在時間軸E時等於零]

第一個推論看似合理...卻得到不符合常識(與第二個推論結果不同)的結論...就代表他的推論過程一定有誤.....

我覺得他的錯誤在於...將連續的時間任意設定成瞬間點...

當我說...當阿基里斯在A..烏龜在B...而當阿基里斯在B..烏龜又在C.........的時候....我所使用的那一個"當"....就代表我擷取了一個瞬間....問題是...運動中的物體不可能有哪一個瞬間是"停留"在某一點的...我頂多只能說....在無限大分之一秒的時間內...他從A點移動了無限大分之一公尺到達B點....

所以說...再補上原來齊諾忽略的時間與運動不能擷取瞬間的問題後....

在阿基里斯與烏龜距離到達無限小的那一個"瞬間"....阿基里斯就會追上烏龜....

上面是我的推論...可是我不知道有沒有我疏忽的漏洞...畢竟...兩千多年的謎題...怎麼會這麼簡單地被解開?

[√∮×∞＝⊿暉 10]

這個敘述的立足點就再於每次算的時間越來越少嘛...

譬如烏龜每秒跑一公尺,阿基每秒跑10公尺

阿基讓烏龜先跑10秒,而後阿基再追

然後算法就以1秒.0.1秒.0.01秒......以此類推

那為啥不直接算到第二秒咧?

[iakotwdb 10]

最初由 白鹿 發表

嗯..其實我覺得癥結不在於時間或等比級數的値是有限或無限...

而是...

如果說我這樣推論...

[阿基理斯要追到烏龜必定得先跑到烏龜先前所在的一點...而阿基理斯跑到烏龜先前所在的一點是需要一點時間的..............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

哦哦~

我大致聽懂你的意思

這還頗有新意的想法

只不過我們這種中學生根本沒法下定論說對不對

一切都只是推論

就算毫無錯誤也不敢發表阿...

[小璽 10]

我有一個想法....

對於上述的說法...意即會有無限小的距離

但為何就常理來說不可能呢?

因為如此小的距離一定小到肉眼無法分辨

而人類目前沒有能力只移動這麼短的距離.一定會超過...也就是會追上烏龜

.......純屬個人淺見

[天天在思考 10]

這題我們老師再高一上教等比級數時....有把這題出在考卷上!!

可是我已經忘記要怎麼解釋了~~

[Joseph 10]

題目並未提到阿奇里斯與烏龜的距離是以等比數列減少阿

[九天驚虹 10]

假設某個物體運動的位置時間圖(x-t圖)可以表成

f(t)=t^2+1

那請問，在5秒時，此物體的位置是？

f(t)=5^2+1=26

所以在五秒這個瞬間，

物體的位置是在26這一點。

運動中的物體不可能有哪一個瞬間是"停留"在某一點

好，那在5秒這個瞬間，此物體不會停留在26這個位置囉？

重新看了一下討論串 發現我這篇回應錯的很離譜= =|||||

運動中的物體不可能有哪一個瞬間是"停留"在某一點是正確的

如果停留,就是中了飛矢不動的悖論,事實上,我們可以求得它的瞬時速度

說它在動

不過題目的意思應該不是停留,而是在這個瞬間,他在這個位置之上.

[訪客]

最初由 九天驚虹 發表

假設某個物體運動的位置時間圖(x-t圖)可以表成

f(t)=t^2+1

那請問，在5秒時，此物體的位置是？

f(t)=5^2+1=26

所以在五秒這個瞬間，

物體的位置是在26這一點。

引用:

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運動中的物體不可能有哪一個瞬間是"停留"在某一點

--------------------------------------------------------------------------------

好，那在5秒這個瞬間，此物體不會停留在26這個位置囉？

確實不會「停留」在26這個位置

他會在26那點「前進」

[九天驚虹 10]

確實不會「停留」在26這個位置

他會在26那點「前進」

沒錯 不會停留

在26這一點 還是有速度的

[白鹿 11]

最初由 九天驚虹 發表

呃，在那個瞬間，是在26那個點，是靜止不動的。

它並沒有前進，而是有前進的趨勢。

嘻嘻...有沒真的"瞬間"呢?

[九天驚虹 10]

最初由 白鹿 發表

嘻嘻...有沒真的"瞬間"呢?

照相機

使用照相機去照一個運動中的物體，

那就是就在某個時間點上，拍到它的照片。

這個點，不就是我們要的瞬間？

[mapleaf 11]

所謂詭論(paradox)就是明知不對卻又提不出反駁理由的論點

zeno(辛諾)的詭論:我們將他說的簡單一點,

他說某位跑者由A點起跑跑到B點, 設AB長為1, 他必須先經過AB的中點C,(1/2處), 再向

B跑, 又必須經過CB的中點D,按照這樣的規則

1/2+1/4+1/8+...........在有限的項數是永遠到不了1,這就是zeno(辛諾)跑者永遠到不了終

點的詭論

這詭論的發生是古希臘時代,避開(不接受)無限大的觀念, 1/2+1/4+1/8+...........+1/n在有限項數確

實無法=1,但若加入無限的概念lim(n →∞ )1/2+1/4+1/8+...........+1/n就會等於1了

∞不是一個數, 它是一個概念,上面的式子意思是說, 要多接近1,就有多接近1,也就是說,

這個級數收斂到1

希臘人無法接受無限項的總和會趨近一個有限的數字,也因為少了無限大的觀念, 希臘

人在幾何的成就遠遠高於代數的發展,微積分的歷史也晚發展千年以上

無限大的觀念套用一個例題就會比較明瞭, 你能接受0.9循環=1嗎?答案是肯定的,位甚

麼呢?因為0.9循環要多接近就有多接近1, 極限概念並非刻意矯情製造而是本身就是合

情合理的

打破zeno(辛諾)的詭論的鑰匙就是在無限大(極限)的觀念

導入極限的觀念,我們就可以大膽的說

1/2+1/4+1/8+.................=1, 推翻zeno(辛諾)跑者永遠到不了終點的迷思