【問題】古早古早的悖論

[九天驚虹 10]

導入極限的觀念,我們就可以大膽的說

1/2+1/4+1/8+.................=1, 推翻zeno(辛諾)跑者永遠到不了終點的迷思

大膽的說？ 這邊是否就不夠嚴謹了？

但是，這是數學家定義下的結果，數學上所謂收斂到1，真的會等於1嗎？

又極限是什麼東西呢?

今天物理課倒是有跟老師探討極限的東西，有關於收斂跟極限的東西，明天還會去找數學老師討論吧。

物理老師說，極限是看情況而定的。譬如說今天一個測量的結果是

7.00005，甲認為只要到小數點第二位就好了，那麼他的極限就是7.00；而乙認為要精確到小數點下第十位，那很明顯的，7.00005顯然還不夠。

問到最後，竟然還把物理老師問糊塗了，要我請教數學老師。

mapleaf 舉的例子0.9循環=1，又是個無庸置疑的事實。

0.9循環要多接近就有多接近1

根據這樣的說法，僅止於接近，但不會等於1啊。

若以數學上極限的定義，當n趨近無窮大時，與1的差距為1/n，

此時會說它的極限是0。

但雖然極限是0，但它真的會等於0嗎？此時是不是應該說，要多接近零，就有多接近?

但是這樣還是不等於0啊。

[mapleaf 11]

引用:

若以數學上極限的定義，當n趨近無窮大時，與1的差距為1/n，

此時會說它的極限是0。

但雖然極限是0，但它真的會等於0嗎？此時是不是應該說，要多接近零，就有多接近?

但是這樣還是不等於0啊。

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n在有限的條件下, 1/n不會等於0, 在n為無限大的條件下, 1/n會等於0

為何極限問題困擾了許多人, 因為人們難以接受∞的觀念(無法跳脫有限數的思維),若您

將∞看成一 個數,就永遠在迷惑於辛諾的詭論,再次強調"極限的嚴格定義"就是

"要多接近,就有多接近"

例如:

1+1/2+1/4+1/8+.........+1/n

1+1/2+1/4+1/8+.........

這兩個級數有何不同? 上式總和永遠到不了2, 下式總和=2(因為下式蘊含有∞的觀念)

[九天驚虹 10]

lim(n →∞ )1/n

此時，說它等於0，

或者極限是0，

或者收歛到0，

是否都是正確的。

而這之間，又要如何與

要多接近，就有多接近的概念，相連結。

[mapleaf 11]

最初由 九天驚虹 發表

lim(n →∞ )1/n

此時，說它等於0，

或者極限是0，

或者收歛到0，

是否都是正確的。

而這之間，又要如何與

要多接近，就有多接近的概念，相連結。

全都對

就如這麼說吧! 你若懷疑這數列到不了0,你定了一個小空隙,例如

0.001(在極限定義中稱為 ε(epsilon)),我就能找得到一個N

使我的1/N-0<0.001

這就是要多接近，就有多接近的概念

[白鹿 11]

最初由 九天驚虹 發表

照相機

使用照相機去照一個運動中的物體，

那就是就在某個時間點上，拍到它的照片。

這個點，不就是我們要的瞬間？

當然不是...在照片中的物體一定會有一點點的邊緣模糊...這就是快門閃一次時間裡它移動的距離...

[九天驚虹 10]

最初由 白鹿 發表

當然不是...在照片中的物體一?............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

那就抽象一點吧，當時間開始計時，

時間軸上的任一點，就是一個瞬間。

[白鹿 11]

最初由 九天驚虹 發表

那就抽象一點吧，當時間開始計時，

時間軸上的任一點，就是一個瞬間。

那是多長的時間?無限小嗎?

[白鹿 11]

最初由 mapleaf 發表

最初由 九天驚虹 發表

lim(n →∞ )1/n

此時，說它等於0，

或者極限是0，

或者收歛到0，

是否都是正確的。

而這之間，又要如何與

要多接近，就有多接近的概念，相連結。 [/.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

不過數學只能處理到"兩個體之間距離無限小"

如果忽略數學家和科學家在計算物體運動時的"每一瞬間內可以找到移動中物體的確定位置"的假設錯誤....便無法解釋"追上"的事實...

用無限級數的概念主張最後結果是無限小...是沒有用的...

以下是參考資料

http://sa.ylib.com/news/newsshow.asp?FDocNo=271&CL=14

[Evildemon 10]

阿咧！

這個高一上南一版數學課本就有了，

在無限等比級數的開頭故事

[九天驚虹 10]

最初由 白鹿 發表

那是多長的時間?無限小嗎?

無窮小就是零，瞬間指的是零。

[andrewchiang 10]

好像看過

阿基里斯跟烏龜

是同時進行的

所以總有一天會超過

[白鹿 11]

最初由 九天驚虹 發表

無窮小就是零，瞬間指的是零。

如果瞬間是零

時間將成為不可能

[九天驚虹 10]

最初由 白鹿 發表

如果瞬間是零

時間將成為不可能

那該如何去解釋點能構成直線呢?

點並沒有大小 怎能累積成一條直線?

直線的長度並不是由點累積而成的

同樣地 時間的長度也不是由瞬間累積而成的

[訪客]

無限多個無限小的點構成有限長度的線？

[九天驚虹 10]

最初由 justinyeh 發表

無限多個無限小的點構成有限長度的線？

零不管加幾次都是零

無窮多個零相加還是零

[九天驚虹 10]

最初由 白鹿 發表

歹勢...

無限等比級數的有限値無法解決這個問題

請問,為什麼說無窮等比級數不能解決呢?

最初由 白鹿 發表

設N為1/2..N2為1/3...N3為1/4.........N(無限大)等於1/(無限大).....

從等比級數的觀點看...到了最後也只是"近似於零"...並不會"等於零"...(也就是說..還沒追上..)

舉個無窮等比數列(公比0.1)

{0.1,0.01,0.001,0.0001,...}

依照你的看法,終究還是會有差距存在,

這數列跑不到零,差距永遠不會消失.

事實上,差距終究是會消失.

換個簡單的例子

能接受0.9循環=1嗎?

如果可以,必然就能接受差距終究還是會變成零.

為什麼必然接受?

其實講0.9循環跟上面這個例子很有關係,只要注意就能發現,當小數點後只有1個9,差距就是0.1,小數點後有2個9差距便是0.01以此類推.. 差距終究會消失

[hakuryu83 10]

這題主要關鍵在於沒有限定時間

假設烏龜在阿基里斯前面一公尺

阿基里斯每秒跑十公尺

１（１０－０.１）＝１０９９

因此比賽在１０９９秒以前

阿基里斯是追不上烏龜的

但過了１０９９秒之後

阿基里斯便追上烏龜

[a822305877 10]

當初在定義極限的時候就定義清楚啦~當一個數可以無線接近另一個數的時候~數學上就當他相等~可是在做運算的時候卻又不是這樣~必定處理到單一極限或者是多個不影響的極限時才帶入數值~所以這題是有解的~

[九天驚虹 10]

最初由 a822305877 發表

可是在做運算的時候卻又不是這樣~必定處理到單一極限或者是多個不影響的極限時才帶入數值~所以這題是有解的~

這句話在說什麼= ="

能不能說的更明確些?

[a822305877 10]

我是不太會用詞去解釋啦~可能我用詞錯誤也不一定~~例如limX→1的 X-1

答案就是0 可是如果是 limX→1的 X^2+4X+3/X-1 這題答案是-2 如果直接帶入1的劃分母=0分子也=0 沒有人知道0/0等於多少 所以要把分子因式分解約分之後得到limX→1的X-3 所以是-2.....就是這樣= =

[九天驚虹 10]

當初在定義極限的時候就定義清楚啦~當一個數可以無線接近另一個數的時候~數學上就當他相等~

兩個實數要是能夠任意接近，那麼這兩個實數就是相等的。

事實上，它們就是一樣的東西。

可是在做運算的時候卻又不是這樣~必定處理到單一極限或者是多個不影響的極限時才帶入數值~所以這題是有解的~

依照你的意思來看

應該是求取極限的方法，有時候要做變通。

與第一句的兩個數相等

好像沒什麼關聯性

所以看不太懂= ="

[jimmy001 10]

我覺得重點是沒有實際的數字.就可能是無現或是無現小.又或是它給的距離是代號的問題.才組成上面的繆論..........

[daniu7365 10]

有一个至关重要的因素被忽略了——时间。因为我们知道，走完一段距离都需要一定的时间，而所谓的速度不同实际上就是指，走完一段距离所花的时间不同。芝诺先生说，如果阿基里斯走到乌龟原来的位置，而乌龟又向前走了一段距离，然后又多出一段距离……这里我们能很清楚地看到，他只考虑了距离而忽略了时间，因而这里已经不存在速度这个概念了。也就是说芝诺在这讲的并不是追逐的故事，而是距离可以无限分割的故事了。

　　芝诺还说过另一个“悖论”，他说一个人不可能从一个地方到达另一个地方。因为这个人要到达一个地方，就必须走到这段路程的一半的地方，但是如果他要走到中点，就必须先走到中点的中点，……结果这个人永远走不到终点。

　　在这里芝诺同样忽略了时间，或者说是芝诺有意将时间做了无限分割。因为不管这个人用什么交通工具，都会占用时间的，如果将一段距离不停的一半、一半分下去，其实同时也将时间不停地分下去了，也就是说要想让时间经过一秒就先要经过半秒，要想经过半秒就要先经过半秒的一半，然后，再然后……我们发现没有时间了。所以芝诺的意思变成了：我不给你时间，你能从一个地方到达另一个地方吗？

如果非要按照芝诺的思维去分析, 一样可以找到问题所在: 因为我们都知道,无限个量的和有可能是有限的, 比如1+1/2+¼+1/8+....=2所以,虽然追的过程可以划分成无限个时间段,但这无限个时间段并不等于说它们的和也是无限的,其实是有限的,这个和就是阿基里斯追到乌龟的时间。

[雷燄 10]

那麼這個古早的悖論如何呢？

我們取一根木棍

切一半變1/2

再切一半變1/4

繼續切

1/8

/16

.

.

.

.

這樣下去會有完結嗎？

(嘿嘿，其實我知道破解方法)

[訪客]

切東西喔？切到剩一個分子就切不了了，再切就不是同一個東西