九天驚虹 10 發表於 May 9, 2005 檢舉 Share 發表於 May 9, 2005 導入極限的觀念,我們就可以大膽的說1/2+1/4+1/8+.................=1, 推翻zeno(辛諾)跑者永遠到不了終點的迷思 大膽的說? 這邊是否就不夠嚴謹了?但是,這是數學家定義下的結果,數學上所謂收斂到1,真的會等於1嗎?又極限是什麼東西呢?今天物理課倒是有跟老師探討極限的東西,有關於收斂跟極限的東西,明天還會去找數學老師討論吧。物理老師說,極限是看情況而定的。譬如說今天一個測量的結果是7.00005,甲認為只要到小數點第二位就好了,那麼他的極限就是7.00;而乙認為要精確到小數點下第十位,那很明顯的,7.00005顯然還不夠。問到最後,竟然還把物理老師問糊塗了,要我請教數學老師。mapleaf 舉的例子0.9循環=1,又是個無庸置疑的事實。0.9循環要多接近就有多接近1 根據這樣的說法,僅止於接近,但不會等於1啊。若以數學上極限的定義,當n趨近無窮大時,與1的差距為1/n,此時會說它的極限是0。但雖然極限是0,但它真的會等於0嗎?此時是不是應該說,要多接近零,就有多接近? 但是這樣還是不等於0啊。 鏈接文章 分享到其他網站
mapleaf 11 發表於 May 9, 2005 檢舉 Share 發表於 May 9, 2005 引用:若以數學上極限的定義,當n趨近無窮大時,與1的差距為1/n,此時會說它的極限是0。但雖然極限是0,但它真的會等於0嗎?此時是不是應該說,要多接近零,就有多接近? 但是這樣還是不等於0啊。-------------------------------------------------------------------------------------n在有限的條件下, 1/n不會等於0, 在n為無限大的條件下, 1/n會等於0為何極限問題困擾了許多人, 因為人們難以接受∞的觀念(無法跳脫有限數的思維),若您將∞看成一 個數,就永遠在迷惑於辛諾的詭論,再次強調"極限的嚴格定義"就是"要多接近,就有多接近"例如:1+1/2+1/4+1/8+.........+1/n1+1/2+1/4+1/8+.........這兩個級數有何不同? 上式總和永遠到不了2, 下式總和=2(因為下式蘊含有∞的觀念) 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 May 9, 2005 檢舉 Share 發表於 May 9, 2005 lim(n →∞ )1/n此時,說它等於0,或者極限是0,或者收歛到0,是否都是正確的。而這之間,又要如何與要多接近,就有多接近的概念,相連結。 鏈接文章 分享到其他網站
mapleaf 11 發表於 May 9, 2005 檢舉 Share 發表於 May 9, 2005 最初由 九天驚虹 發表lim(n →∞ )1/n此時,說它等於0,或者極限是0,或者收歛到0,是否都是正確的。而這之間,又要如何與要多接近,就有多接近的概念,相連結。 全都對就如這麼說吧! 你若懷疑這數列到不了0,你定了一個小空隙,例如0.001(在極限定義中稱為 ε(epsilon)),我就能找得到一個N使我的1/N-0<0.001這就是要多接近,就有多接近的概念 鏈接文章 分享到其他網站
白鹿 11 發表於 May 9, 2005 作者 檢舉 Share 發表於 May 9, 2005 最初由 九天驚虹 發表照相機使用照相機去照一個運動中的物體,那就是就在某個時間點上,拍到它的照片。這個點,不就是我們要的瞬間? 當然不是...在照片中的物體一定會有一點點的邊緣模糊...這就是快門閃一次時間裡它移動的距離... 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 May 9, 2005 檢舉 Share 發表於 May 9, 2005 最初由 白鹿 發表當然不是...在照片中的物體一?............(論壇訊息:引文過長 恕刪) 那就抽象一點吧,當時間開始計時,時間軸上的任一點,就是一個瞬間。 鏈接文章 分享到其他網站
白鹿 11 發表於 May 11, 2005 作者 檢舉 Share 發表於 May 11, 2005 最初由 九天驚虹 發表那就抽象一點吧,當時間開始計時,時間軸上的任一點,就是一個瞬間。 那是多長的時間?無限小嗎? 鏈接文章 分享到其他網站
白鹿 11 發表於 May 11, 2005 作者 檢舉 Share 發表於 May 11, 2005 最初由 mapleaf 發表最初由 九天驚虹 發表lim(n →∞ )1/n此時,說它等於0,或者極限是0,或者收歛到0,是否都是正確的。而這之間,又要如何與要多接近,就有多接近的概念,相連結。 [/.............(論壇訊息:引文過長 恕刪) 不過數學只能處理到"兩個體之間距離無限小"如果忽略數學家和科學家在計算物體運動時的"每一瞬間內可以找到移動中物體的確定位置"的假設錯誤....便無法解釋"追上"的事實...用無限級數的概念主張最後結果是無限小...是沒有用的...以下是參考資料http://sa.ylib.com/news/newsshow.asp?FDocNo=271&CL=14 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 June 12, 2005 檢舉 Share 發表於 June 12, 2005 最初由 白鹿 發表那是多長的時間?無限小嗎? 無窮小就是零,瞬間指的是零。 鏈接文章 分享到其他網站
白鹿 11 發表於 June 29, 2005 作者 檢舉 Share 發表於 June 29, 2005 最初由 九天驚虹 發表無窮小就是零,瞬間指的是零。 如果瞬間是零時間將成為不可能 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 June 29, 2005 檢舉 Share 發表於 June 29, 2005 最初由 白鹿 發表如果瞬間是零時間將成為不可能 那該如何去解釋點能構成直線呢?點並沒有大小 怎能累積成一條直線?直線的長度並不是由點累積而成的同樣地 時間的長度也不是由瞬間累積而成的 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 June 29, 2005 檢舉 Share 發表於 June 29, 2005 最初由 justinyeh 發表無限多個無限小的點構成有限長度的線? 零不管加幾次都是零無窮多個零相加還是零 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 July 5, 2005 檢舉 Share 發表於 July 5, 2005 最初由 白鹿 發表歹勢...無限等比級數的有限値無法解決這個問題 請問,為什麼說無窮等比級數不能解決呢?最初由 白鹿 發表設N為1/2..N2為1/3...N3為1/4.........N(無限大)等於1/(無限大).....從等比級數的觀點看...到了最後也只是"近似於零"...並不會"等於零"...(也就是說..還沒追上..) 舉個無窮等比數列(公比0.1){0.1,0.01,0.001,0.0001,...}依照你的看法,終究還是會有差距存在,這數列跑不到零,差距永遠不會消失.事實上,差距終究是會消失.換個簡單的例子能接受0.9循環=1嗎?如果可以,必然就能接受差距終究還是會變成零.為什麼必然接受?其實講0.9循環跟上面這個例子很有關係,只要注意就能發現,當小數點後只有1個9,差距就是0.1,小數點後有2個9差距便是0.01以此類推.. 差距終究會消失 鏈接文章 分享到其他網站
hakuryu83 10 發表於 July 7, 2005 檢舉 Share 發表於 July 7, 2005 這題主要關鍵在於沒有限定時間假設烏龜在阿基里斯前面一公尺阿基里斯每秒跑十公尺1(10-0.1)=1099因此比賽在1099秒以前阿基里斯是追不上烏龜的但過了1099秒之後阿基里斯便追上烏龜 鏈接文章 分享到其他網站
a822305877 10 發表於 July 29, 2005 檢舉 Share 發表於 July 29, 2005 當初在定義極限的時候就定義清楚啦~當一個數可以無線接近另一個數的時候~數學上就當他相等~可是在做運算的時候卻又不是這樣~必定處理到單一極限或者是多個不影響的極限時才帶入數值~所以這題是有解的~ 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 July 30, 2005 檢舉 Share 發表於 July 30, 2005 最初由 a822305877 發表可是在做運算的時候卻又不是這樣~必定處理到單一極限或者是多個不影響的極限時才帶入數值~所以這題是有解的~ 這句話在說什麼= ="能不能說的更明確些? 鏈接文章 分享到其他網站
a822305877 10 發表於 July 30, 2005 檢舉 Share 發表於 July 30, 2005 我是不太會用詞去解釋啦~可能我用詞錯誤也不一定~~例如limX→1的 X-1答案就是0 可是如果是 limX→1的 X^2+4X+3/X-1 這題答案是-2 如果直接帶入1的劃分母=0分子也=0 沒有人知道0/0等於多少 所以要把分子因式分解約分之後得到limX→1的X-3 所以是-2.....就是這樣= = 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 July 30, 2005 檢舉 Share 發表於 July 30, 2005 當初在定義極限的時候就定義清楚啦~當一個數可以無線接近另一個數的時候~數學上就當他相等~ 兩個實數要是能夠任意接近,那麼這兩個實數就是相等的。事實上,它們就是一樣的東西。可是在做運算的時候卻又不是這樣~必定處理到單一極限或者是多個不影響的極限時才帶入數值~所以這題是有解的~依照你的意思來看應該是求取極限的方法,有時候要做變通。與第一句的兩個數相等好像沒什麼關聯性所以看不太懂= =" 鏈接文章 分享到其他網站
jimmy001 10 發表於 August 6, 2005 檢舉 Share 發表於 August 6, 2005 我覺得重點是沒有實際的數字.就可能是無現或是無現小.又或是它給的距離是代號的問題.才組成上面的繆論.......... 鏈接文章 分享到其他網站
daniu7365 10 發表於 August 21, 2005 檢舉 Share 發表於 August 21, 2005 有一个至关重要的因素被忽略了——时间。因为我们知道,走完一段距离都需要一定的时间,而所谓的速度不同实际上就是指,走完一段距离所花的时间不同。芝诺先生说,如果阿基里斯走到乌龟原来的位置,而乌龟又向前走了一段距离,然后又多出一段距离……这里我们能很清楚地看到,他只考虑了距离而忽略了时间,因而这里已经不存在速度这个概念了。也就是说芝诺在这讲的并不是追逐的故事,而是距离可以无限分割的故事了。 芝诺还说过另一个“悖论”,他说一个人不可能从一个地方到达另一个地方。因为这个人要到达一个地方,就必须走到这段路程的一半的地方,但是如果他要走到中点,就必须先走到中点的中点,……结果这个人永远走不到终点。 在这里芝诺同样忽略了时间,或者说是芝诺有意将时间做了无限分割。因为不管这个人用什么交通工具,都会占用时间的,如果将一段距离不停的一半、一半分下去,其实同时也将时间不停地分下去了,也就是说要想让时间经过一秒就先要经过半秒,要想经过半秒就要先经过半秒的一半,然后,再然后……我们发现没有时间了。所以芝诺的意思变成了:我不给你时间,你能从一个地方到达另一个地方吗? 如果非要按照芝诺的思维去分析, 一样可以找到问题所在: 因为我们都知道,无限个量的和有可能是有限的, 比如1+1/2+¼+1/8+....=2所以,虽然追的过程可以划分成无限个时间段,但这无限个时间段并不等于说它们的和也是无限的,其实是有限的,这个和就是阿基里斯追到乌龟的时间。 鏈接文章 分享到其他網站
雷燄 10 發表於 August 22, 2005 檢舉 Share 發表於 August 22, 2005 那麼這個古早的悖論如何呢?我們取一根木棍切一半變1/2再切一半變1/4繼續切1/8/16....這樣下去會有完結嗎?(嘿嘿,其實我知道破解方法) 鏈接文章 分享到其他網站
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