【問題】流龍馬的期中考悖論

[白鹿 11]

題目說：

「不管我選在哪一天，你們都不可能知道哪一天要考試！」。

請問所謂的不知道，是指什麼時間內不知道？

哎呀，我的題目沒有說清楚，真是抱歉呀。

所謂的不知道，指的是＂在考試那天以前不知道＂。

我用紅色字體修改過題目了，可以參考一下。

龍的證明說：

1. 如果X是E。

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

單是這兩句話就有問題。

我們先把「X是E」設為P事件，把「現在是D這一天」設為Q事件，

把「我們知道X是E」設為R事件，則

P且Q→R，而已知此為F

故～R→～P或～Q

第三點的論述應該是「X不是E」或「現在這一天不是D」。

嗯，你這裡的推論是對的。

但是即使第三點的論述是「X不是E」或「現在這一天不是D」，也無法推翻龍馬的論證。

因為＂「X不是E」或「現在這一天不是D」＂蘊含了＂如果現在這一天是D，則X不是E＂。

抱歉呀，我沒有寫清楚的題目誤導你了="=

不過，我覺得對於任何知道老師會在BCDE這幾天內選一天考試的學生，如果到了D這天還沒有考試，他一定可以合理推論出E這天會考試吧。

事實上，這樣的論證即使不符號化，也可以很間單地解決。

[白鹿 11]

找到問題了，

考試的時間是組合，不是排列，

但他把這個問題當排列解，

所以流馬龍錯了。

這就好像說人會死，可是他說人不會死一樣。（這句話應該比較容易理解，不過有些不同）

這次應該對了XD

老實說，我對數學不太行 囧

搞不好你是對的，但是我現在沒有理解你的意思，你可以說得清楚一點嗎？

＂考試的時間是組合＂是什麼意思？

為什麼龍馬是＂把考試的時間當排列解＂？

[清新旋律 10]

廢話不多說，從頭來推敲。

首先我們要了解反證法，以及龍想要證明的東西。

他想要證明X不是A且不是B且不是C且不是D且不是E。

由於X=A、X=B、X=C、X=D、X=E已知為互斥事件，

各小題的反證法應該分開來寫，且不能使用未經給定的條件。（分割不限於此）

1. 如果X是E。

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

3. X不會是E。

　4. 如果X是D。

　5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

　　表示承認3的前提，則在C這天與在D這天矛盾。

　6. X不會是D。

　　　7. 如果X是C。。

　　　8. 根據3、6，X不會是E、D，所以在B這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是C。

　　　9. X不會是C。

　　　　10. 如果X是B。

　　　　11. 根據根據3、6、9，X不會是E、D、C，所以在A這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是B。

　　　　12. X不會是B。

　　　　　13. X不會是BCDE中的任何一個。

[白鹿 11]

「知道」是有順序的，所以你不能說在B日，「我知道在D日的時候我會知道......」這樣是錯的。

嗯，我不知道為什麼你會覺得這有問題。

我的確可以在A這天說：＂如果老師一直到D這天都沒有考試，那麼在D這天，我會知道考試的日子是E＂呀。

龍馬的推論證明出，不管考試的日子是哪一天，我們都會在那一天之前的另外一天有恰當的理由預測出考試的日子（我們都會在那一天之前的另外一天知道那一天要考試），所以不會有任何一個日子符合早乙女開出的條件，所以，早乙女沒辦法考試。

其實這個悖論想解決的問題是＂符合早乙女開出的條件的X存不存在？＂

也就是說，早乙女能不能在不違背自己訂下的規則的情況下找出一天來然後考試。

或許早乙女訂下的規則本身就蘊含著X不存在也說不定，所以流龍馬的推論的正確性，是有可能的。

（當然，事實也有可能是＂X不存在而且流龍馬的推論是錯的＂。）

[清新旋律 10]

嗯，我不知道為什麼你會覺得這有問題。

我的確可以在A這天說：＂如果老師一直到D這天都沒有考試，那麼在D這天，我會知道考試的日子是E＂呀。

龍馬的推論證明出，不管考試的日子是哪一天，我們都會在那一天之前的另外一天有恰當的理由預測出考試的日子（我們都會在那一天之前的另外一天知道那一天要考試），所以不會有任何一個日子符合早乙女開出的條件，所以，早乙女沒辦法考試。

其實這個悖論想解決的問題是＂符合早乙女開出的條件的X存不存在？＂

也就是說，早乙女能不能在不違背自己訂下的規則的情況下找出一天來然後考試。

或許早乙女訂下的規則本身就蘊含著X不存在也說不定，所以流龍馬的推論的正確性，是有可能的。

（當然，事實也有可能是＂X不存在而且流龍馬的推論是錯的＂。）

抱歉我把我的推論又修改過了(這大概是第三十次)

請再評論一次吧。

[白鹿 11]

1. 如果X是E。

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

3. X不會是E。

　4. 如果X是D。

　5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

　　表示承認3的前提，則在C這天與在D這天矛盾。

　6. X不會是D。

.........

　　　

你說的＂在C這天與在D這天矛盾＂是什麼意思？

是說，這個論證蘊含著＂（在D這天，龍馬會擁有恰當的理由來相信說，X是E）而且（在C這天，龍馬會擁有恰當的理由來相信說，X是D）＂，所以矛盾嗎？

嗯，我並不知道為什麼這樣會造成矛盾。

但是我覺得，＂龍馬濫用反證法＂這個思路是可行的。

不過，如果要照著這個思路推論，我們要考慮的應該是，

在456這一個＂反證法小題＂裡，能不能使用3當作前提。

對了...

抱歉我把我的推論又修改過了(這大概是第三十次)

請再評論一次吧。

那個，以後請避免對原文作大幅修改，盡量使用PO新回覆的方法修正。

不然你把那篇文章改掉了，我的#29就顯得很蠢="=

[Wind Hong 10]

廢話不多說，從頭來推敲。

首先我們要了解反證法，以及龍想要證明的東西。

他想要證明X不是A且不是B且不是C且不是D且不是E。

由於X=A、X=B、X=C、X=D、X=E已知為互斥事件，

各小題的反證法應該分開來寫，且不能使用未經給定的條件。（分割不限於此）

1. 如果X是E。

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

3. X不會是E。

　4. 如果X是D。

　5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

　　表示承認3的前提，則在C這天與在D這天矛盾。

　6. X不會是D。

　　　7. 如果X是C。。

　　　8. 根據3、6，X不會是E、D，所以在B這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是C。

　　　9. X不會是C。

　　　　10. 如果X是B。

　　　　11. 根據根據3、6、9，X不會是E、D、C，所以在A這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是B。

　　　　12. X不會是B。

　　　　　13. X不會是BCDE中的任何一個。

時光荏苒的推論應該是，

若是X是D，則1-2的推論不成立。

我的推論基本上跟他一樣

我說的組合跟排列的概念好像錯了（數學果然要好好讀呀XD）

流龍馬的推論是正確的（打錯了，是錯誤的）：

依據他的推論，

我們在A日會推論XCDE，若B日考則被我們事先推知

B日過了沒考推論BXDE，若C日考則被我們事先推知

C日過了沒考推論BCXE，若D日考則被我們事先推知

D日過了沒考推論BCDX，若E日考則被我們事先推知

因此我們推知，早乙女不考試。

可是我們不能在A日「確定」B日會考，

1.在A日時，可能考試的日子是BCDE，

2.在B日時，可能考試的日子是CDE，

3.在C日時，可能考試的日子是DE，

4.但E日不可能，因為在D日我們會知道E考試，所以推論是D。

請注意我們要到C沒考之後才能有恰當的理由來相信說考試日是D。

5.因此，在A日時做只能在C日證實的推論，

並且用這個未證實的推論進一步推論B、C也是如此是錯誤的。

6.如果在B、C兩日考試則流龍馬的1-6推論不成立（因為事實是X不為D、E），我之前說的時間倒反就是指這個。

自然不能拿來證明B、C兩天不會考試。

7.但是我們不能確定B、C兩天哪一天考試，

因此早乙女沒有騙人。

（終於搞清楚了～～睡個覺果然有差XD）

[白鹿 11]

等等我修一下

好像有些問題

好@@

下次請愛用新回覆哦...

[清新旋律 10]

是...

我會愛用新回覆的XD

[Wind Hong 10]

時光荏苒在25篇回覆其實已經把問題解決了，

因為A日不是D日，

所以他沒有辦法說證明1-3的推論成立

還有你明明跟我同一年級，

怎麼多我一槓XO

[清新旋律 10]

把龍的證明換一種寫法提供參考：

設「X=E」為P，「今天是D」為Q，「我們知道X=E」為R

「X=D」為V，「今天是C」為W，「我們知道X=D」為Y

「X=C」為K，「今天是B」為M，「我們知道X=C」為N

「X=B」為G，「今天是A」為H，「我們知道X=B」為J

已知P且V為空集合，Q且W為空集合，---1

且R、Y為F。

P且Q→R為真且R為假，～R→～P或～Q

前真，且前真後假為假，故～P或～Q為真---2

同理～V或～W為真---3

同理～K或～M為真---4

同理～G或～H為真---5

由1、2、3、4、5不能得知

～P為T且～V為T且～K為T且～G為T

故證明不完全。

====================================

#28的意思：

3. X不會是E。

　4. 如果X是D。

　5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

　　表示承認「推理到第三行」所使用的「全部前提」，則「在C這天」（時間點在C）與「在D這天」（時間點在D）矛盾。

因為你不可能同時活在C和D兩個不同的時間啊XD

[白鹿 11]

#28的意思：

3. X不會是E。

　4. 如果X是D。

　5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

　　表示承認「推理到第三行」所使用的「全部前提」，則「在C這天」（時間點在C）與「在D這天」（時間點在D）矛盾。

因為你不可能同時活在C和D兩個不同的時間啊XD

嗯，龍馬的意思是說，

[tab]5. 根據3，X不會是E，所以，我們在A這天會擁有恰當的裡有來相信說，在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。[/tab]

以此類推，整個的推論，是可以在A當天完成的。

順帶一提，以後大學上邏輯課的時候會學到，當一個IP（inderct proof，就是否證法）完成之後，除了結論之外，這個IP所建立的所有命題（就是假設的前提和由假設的前提推出的全部東西）都不可以在下面的推論裡繼續使用，也就是說，當一個IP完成之後，論者並不需要繼續承認他的前提為真。

不過，老實說我也滿懷疑有沒有可能是

[tab]1.龍馬的情況不適用IP規則

或是

2.IP規則不完備[/tab]

依我現在的程度，要在邏輯上繼續探究是滿困難的，

不過，如果你們可以找到符號邏輯的IP規則的漏洞並且成功地修改他，會是很大的壯舉哦！

另外，我剛剛去查了一下資料，我們現在討論的點，似乎不是歷代討論這個問題的學者著重的點（他們似乎都認為，這個部分是沒有問題的="=）。

這個悖論在哲學與邏輯領域的討論重點，反而是放在

[tab]＂對於任何一個日子X，只要學生知道X會考試，那麼X就不會考試（老師就不能在X這天考試），但是，如果X這天不考試，那麼學生就不是知道X這天會考試，所以老師就可以在X這天考試.......＂[/tab]

如此的無限重複。

[趴趴仔 10]

龍馬的假設出了問題

他一開始便假設到倒數第2天沒考的話

以ABCDE5天好了

如果博士本想在C考

則龍馬先推說到D沒考的話在退回思考到C沒考的話

但時間是從A到E

有順序性

不從先推最後一個才往前推

[白鹿 11]

但時間是從A到E

有順序性

不從先推最後一個才往前推

為什麼？

[清新旋律 10]

[tab]＂對於任何一個日子X，只要學生知道X會考試，那麼X就不會考試（老師就不能在X這天考試），但是，如果X這天不考試，那麼學生就不是知道X這天會考試，所以老師就可以在X這天考試.......＂[/tab]

如此的無限重複。

能否請白鹿詳細將本段敘述以更嚴謹的型態寫出，以方便討論？

我的意思是，將所有微末細枝的敘述分項說明清楚，並且留意勿將「可省略」之助詞省略。

EX「不能考試」不等於「沒有考試」不等於「不考試」

[白鹿 11]

能否請白鹿詳細將本段敘述以更嚴謹的型態寫出，以方便討論？

我的意思是，將所有微末細枝的敘述分項說明清楚，並且留意勿將「可省略」之助詞省略。

EX「不能考試」不等於「沒有考試」不等於「不考試」

沒問題(H)

[tab]＂對於任何一個日子X，只要學生知道X會考試，那麼X就不會考試（老師就不能在X這天考試）*1，但是，如果X這天不考試，那麼學生就不是知道X這天會考試*2，所以老師就可以在X這天考試.......＂[/tab]

*1：因為學生知道X這一天會考試，所以X並不符合老師給出的考試的日子的條件，所以老師不能在X這天考試，所以學生可以合理推測說，X這天不會考試。

*2：老師不能在X這天考試，因為學生知道X這天會考試。但是如果因此老師沒有在X這天考試，學生就不能算是知道X這天會考試（一般來說，＂S知道P＂的必要條件是＂P為真＂）。因此，如果老師在X這天考試，老師就不能在X這天考試；如果老師在X這天沒有考試，老師就可以在X這天考試。

補充另外一個問題：

[tab]＂於任何一個日子X，只要學生知道X會考試，那麼X就不會考試。於是，對於任何一個日子X，如果學生知道X會考試，那麼學生就會知道X這天不會考試，如果學生知道X這天不會考試，老師就可以在X這天考試。所以，如果學生知道X這天會考試，學生就會知道X這天不會考試，老師就可以在X這天考試。[/tab]

[YuSuKe 10]

根據版大補充的問題來看，當學生以龍馬的認為沒有一天能考試時，其實老師就偏偏考下去，學生以為不考，結果考了，學生沒猜中哪天考，老師完全沒有說謊。

突發奇想了個怪念頭，如果全部學生(複數)每個人都憑直覺猜(指不因任何邏輯理論因素的猜)一天，學期中的每一天都有人猜，那老師不就真的每天都不能考了。或是說，老師不知道學生(單數)猜哪一天，所以老師也不知道該考哪天才不會被猜到。這麼說來，直覺的"猜"完全不能列入考慮吧。

(忽然發現"亂猜"這個在先前的討論中就說清楚不列入了......我是沒把文爬清楚的笨蛋XD)

[allssddaa 10]

我認為劉龍馬的反證法並沒有錯

我支持前面ian_chou821 和白鹿提到的

假設學生基於@理由相信在&天會考試

因為"學生不可能知道哪一天考試"

所以學生相信&天不會考試

但是當學生相信這&天不會考試這瞬間

前面的便不符合

所以學生又基於@相信&天會考試

又因為"不可能有學生知道哪一天考試"

所以學生又相信&天不會考試

由上而知

流龍馬的錯誤在於

它的推論只有進行到上述的第三行便結束

[趴趴仔 10]

為什麼？

因為時間有順序性阿= =

如同我們不能過了7月2號再過7月1號

他的假設是先說到最後一天前都不考的話

這個在時間的順序性上就有很大的瑕疵

還有一點就是範圍的大小

也是跟順序有關

因為只有一次考試

故在第一天考的話

會讓之後的課完全不會有考試

第2天考會讓第3天後完全不會有

故影響範圍來說最後一天最小

考慮條件時要從大的開始討論起

[白鹿 11]

因為時間有順序性阿= =

如同我們不能過了7月2號再過7月1號

他的假設是先說到最後一天前都不考的話

這個在時間的順序性上就有很大的瑕疵

什麼瑕疵？

還有一點就是範圍的大小

也是跟順序有關

因為只有一次考試

故在第一天考的話

會讓之後的課完全不會有考試

第2天考會讓第3天後完全不會有

故影響範圍來說最後一天最小

考慮條件時要從大的開始討論起

為什麼？

-----------------------------------

嗯，時間順序和影響範圍大小（*1）應該都跟流龍馬的推論是不是有效推論沒有邏輯上的關係。

當我們有N個可能的考試的日子，我當然可以一個一個作假定，一個一個提出合理的理由來說明為什麼這一天不會考試，不是嗎？

（重要的是，我得說明他們全部都不會是考試的日子，至於我想要從哪一天開始說明，就隨我高興了吧？）

＂如果老師把考試的日子訂在最後一天，那麼我們到了倒數第二天就會知道最後一天會考試，所以老師不可能把考試的日子訂在最後一天＂這個歸謬法聽起來還滿合理的，它真的有錯嗎？

*1其實如果老師打算在最後一天考試的話，也會讓之前的每一天都不會有考試，所以事實上我看不出哪一天考試在影響範圍上什麼差別。