【問題】流龍馬的期中考悖論

[白鹿 11]

前言：

近一星期來，熱烈的討論漸漸消卻了，版上只剩下某風和某灰塵的嘴砲（馬的，從人文版打到哲學版來…），令人不勝唏噓。

同學！該認真啦！

--------------「Change－Getter One！」分隔線--------------

話說在剛過完年的三月天，太陽懶懶，乍暖還寒的時候，新學期偷偷地開始了。

這學期，只剩下一次21機會的流龍馬和巴武藏不約而同地選了早乙女教授開的「現代蓋特光線開發與利用」。

向來嚴肅，為人刻薄的早乙女（由此可見，選這堂課的人是智障），兩隻腳拖著木屐啪拉啪拉地上了講台。

「小子們，現在我要說明我的考試方法，」早乙女的頭髮和鬍子翹得亂七八糟：「這堂課我只考一次期中考，一次就決定你是廢柴還是英雄！」

「這個唯一一次的期中考，會選在明天一直到學期最後一天中的任何一天來考試，而且不管我選在哪一天，你們都不可能知道哪一天要考試！」

早乙女喝口水，然後開始說明蓋特線的歷史，被武藏用來卯起來抄筆記的筆發出陣陣哀嚎，龍馬呼呼大睡。

「噹噹噹噹－」（不是百鬼帝國入侵，是下課了）

「欸，博士不是說，隨時都會考試嗎，你還睡得下去！」武藏。

「嘿，博士的意思是，這堂課不考試了！」龍馬。

「啥…」

「博士不是說，期中考

1. 會選在明天一直到學期最後一天中的任何一天，而且

2. 不管他選在哪一天，我們都不可能知道那一天要考試

嗎？」

「對呀。」

「所以，如果一直到了學期的倒數第二天，他還沒有考試的話，

我們就會知道，是學期的最後一天要考試，所以，期中考不可能選在學期的最後一天。」

「那，還是有可能在其他時間考試阿。」

「你很笨欸！

如果學期最後一天不可能考試，那麼如果到了學期倒數第三天還沒有考試，我們就會知道是學期倒數第二天考試嘛！

以此類推，這學期的每一天都不可能考試啊！」

「哦∼這樣子喔，聽起來還滿有道理的。」

「嘿嘿…」龍馬，得意貌。

過了一個星期，在課堂上。

早乙女：「同學，書收起來，我們考期中考。」

龍馬：「什麼！？」

早乙女：「小子，你有什麼問題？」

龍馬：「不對呀，你不能在這堂課考試！如果你在這堂課考試，我們就會料到你會在這堂課考試了啊，所以你不可能在這堂課考試！」

早乙女：「小子，你們的確沒料到我要在這堂課考試啊。」

早乙女發下考卷，龍馬啞口無言，武藏痛哭失聲。

--------------「Getter Beeeeeeeeam！」分隔線--------------

注意！問題來了哦！

龍馬的推論有問題嗎？

或者，其實早乙女是個騙子？

補充：流龍馬的推論

紅色字體為20060610重新編輯時添加

假設，加上開學日A，本學期只有五天，從明天到學期末，BCDE。

早乙女老頭說：

「這個唯一一次的期中考，會選在明天一直到學期最後一天中的任何一天來考試，而且不管我選在哪一天，在考試當天以前，你們都不可能知道哪一天要考試！」

設：X是考試的日子

如果X存在，X必定滿足：

a. X是BCDE中的其中一個。

和

b. 在X之前，早乙女的班上沒有人有恰當的理由來相信說，早已女會在X這天考試。

1. 如果X是E。

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

3. X不會是E。

4. 如果X是D。

5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

6. X不會是D。

7. 如果X是C。。

8. 根據3、6，X不會是E、D，所以在B這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是C。

9. X不會是C。

10. 如果X是B。

11. 根據根據3、6、9，X不會是E、D、C，所以在A這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是B。

12. X不會是B。

13. X不會是BCDE中的任何一個。

[訪客]

只要每天都猜「明天會考試」，總有一天會猜中，不可能猜不到

[bvfrew 10]

（ａ想法）

你不可能會知道哪一天的明天會考試．

所以最後，你還是不知道哪一天會考試．

（ｂ想法）

期中考的發生是必然的，因為龍馬的推斷與事實矛盾，所以不成立．

（ｃ想法）

在作出推斷的同時得到一個假設答案＝期中考不可能發生，

是根據早乙女所說的：＂你們不可能知道我哪一天要考試＂

從最後一天不可能考試而推：卻忽略了一件事，

在得知最後一天不可能考試的方法中，是以能否＂知道＂為中心軸思考，

但在其他天則不適用，因為要得知最後一天不考試的方法必須得由其他天不考試才能得證，但在未來是未知的前提下，由最後一

天為主軸的思考其實是不正確的．

[冬風 軒 10]

近一星期來，熱烈的討論漸漸消卻了，版上只剩下某風和某灰塵的嘴砲（馬的，從人文版打到哲學版來…），令人不勝唏噓。

而且還多了某鹿加入戰局

（不是百鬼帝國入侵，是下課了）

白鹿帝國入侵

白鹿：我要以嗆版主的罪名删你的文...

「所以，如果一直到了學期的倒數第二天，他還沒有考試的話，

我們就會知道，是學期的最後一天要考試，所以，期中考不可能選在學期的最後一天。」

嗯....

「你很笨欸！

如果學期最後一天不可能考試，那麼如果到了學期倒數第三天還沒有考試，我們就會知道是學期倒數第二天考試嘛！

以此類推，這學期的每一天都不可能考試啊！」

倒數第三天還沒考試，那就有可能是倒數第二天或最後一天考，上面第一次的推論結果可不能以此繼續推論下來。

[0212169377 11]

倒數第2天不會考試的條件是到了倒數第3天都還沒有考

但到了倒數第4天都還沒考試的話你不能夠確定是第3還是第2天考要等到倒數第3天才知道

所以不能在逆推回去了

[白鹿 11]

最初由 justinyeh 發表

只要每天都猜「明天會考試」，總有一天會猜中，不可能猜不到

嗯...我在頂樓新放了流龍馬的推論，請愛用。

那個..

我想，隨便猜並不符合早乙女定下的條件呀。

就算符合，也會變成這樣：

龍馬：「你很笨欸！

如果我們每天都猜＂明天會考試＂那不管他在哪一天考試，我們都會事先知道，所以他在每一天都不可能考試嘛！」

武藏：「哇~~龍馬你真聰明！」

龍馬：「唉，廢話少說，我們去玩三國吧！」

隔天。

早乙女：「同學，書收起來，我們考期中考。」

龍馬：「什麼！？」

早乙女：「小子，你有什麼問題？」

龍馬：「不對呀，你不能在這堂課考試！如果你在這堂課考試，我們就會料到你會在這堂課考試了啊，所以你不可能在這堂課考試！」

早乙女：「小子，你們的確沒料到我要在這堂課考試啊。」

[白鹿 11]

最初由 bvfrew 發表

（在作出推斷的同時得到一個假設答案＝期中考不可能發生，

是根據早乙女所說的：＂你們不可能知道我哪一天要考試＂

從最後一天不可能考試而推：卻忽略了一件事，

在得知最後一天不可能考試的方法中，是以能否＂知道＂為中心軸思考，

但在其他天則不適用，因為要得知最後一天不考試的方法必須得由其他天不考試才能得證，但在未來是未知的前提下，由最後一

天為主軸的思考其實是不正確的．

最初由 0212169377 發表

倒數第2天不會考試的條件是到了倒數第3天都還沒有考

但到了倒數第4天都還沒考試的話你不能夠確定是第3還是第2天考要等到倒數第3天才知道

所以不能在逆推回去了

嗯，你們可以說明得詳細一點嗎？

龍馬的推論過程我剛剛已經整理在頂樓，或許你們可以指出來說，（如果他的推論有錯的話）他的哪一步有錯，為什麼有錯等等...

[薏仁做是薏仁湯 10]

我覺得阿

流龍馬最後推出來的沒有一天會考試的結果

其實是說

因為我知道每天都會考試

所以沒有一天會考試(因為你不知道什麼時候考試)

可是問題是

如果你知道每天都考試

那和不知道哪一天考就沒什麼不一樣了

[Morning* 10]

我覺得到數第二天不考試正確的

但是不能因此推出倒數第三天不考

[bvfrew 10]

補充：流龍馬的推論

假設，加上開學日A，本學期只有五天，從明天到學期末，BCDE。

早乙女老頭說：

「這個唯一一次的期中考，會選在明天一直到學期最後一天中的任何一天來考試，而且不管我選在哪一天，你們都不可能知道哪一天要考試！」

設：X是考試的日子

如果X存在，X必定滿足：

a. X是BCDE中的其中一個。

和

b. 早乙女的班上沒有人有恰當的理由來相信說，早已女會在X這天考試。

1. 如果X是E。

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

3. X不會是E。

4. 如果X是D。

5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

6. X不會是D。

7. 如果X是C。。

8. 根據3、6，X不會是E、D，所以在B這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是C。

9. X不會是C。

10. 如果X是B。

11. 根據根據3、6、9，X不會是E、D、C，所以在A這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是B。

12. X不會是B。

13. X不會是BCDE中的任何一個。

=

我認為:

這段推理有矛盾:

單就題目方面:

矛盾點是:如果X存在

題目一開始有提到假設X是存在的，

由１３點所述：＂ X不會是BCDE中的任何一個。＂

和

ｘ所滿足的ａ．X是BCDE中的其中一個。

１３點推理－＞＜－ｘ所滿足的ａ項

很明顯的，推理的走向與題意走向不同，

我認為可以直接說：

龍馬的推理是錯的！

嗯..我幫你修改了引用語法 by.白鹿

[白鹿 11]

最初由 bvfrew 發表

題目一開始有提到假設X是存在的，

由１３點所述：＂ X不會是BCDE中的任何一個。＂

和

ｘ所滿足的ａ．X是BCDE中的其中一個。

１３點推理－＞＜－ｘ所滿足的ａ項

很明顯的，推理的走向與題意走向不同，

我認為可以直接說：

龍馬的推理是錯的！

嗯，我想，你誤解了老頭的意思。

老頭只說：如果X存在，則X必須滿足....

並沒有說：X存在，而且X滿足....

[bvfrew 10]

如樓上說的:

則1~13點的推理導出了x不存在的事實，

但我認為題目應該要加一個Ｘ必須存在會比較好，

（不然就是１∼１３點的推理有問題，不過我看不出來　囧）

[白鹿 11]

最初由 bvfrew 發表

如樓上說的:

則1~13點的推理導出了x不存在的事實，

但我認為題目應該要加一個Ｘ必須存在會比較好，

（不然就是１∼１３點的推理有問題，不過我看不出來　囧）

嗯，

如果前提是這樣

名詞解釋：X是考試的日子

前提：

1.X存在

2.X是BCDE中的其中一個。

3.早乙女的班上沒有人有恰當的理由來相信說，早已女會在X這天考試。

那麼如果依據流龍馬的推論，會得出~1，則表示下面之一為真

1.至少有一個前提無法和其他兩個前提同時為真

2.推論過程有錯

在這樣的情況之下，我們沒有理由在推論 結論 和前提衝突的情況下，給予前提比較優先性的考慮。

所以如果你想要主張說，前提沒有錯（那三個前提是可以同時為真的），是龍馬的推論過程有錯，

你必須指出，推論過程中的哪一個步驟有錯誤，以及為何有錯誤，

而不只是單單指出推論過程中和前提衝突的地方。

20060423修改紅色部分，＂過程＂===>＂結論＂

[bvfrew 10]

噢，討厭的推理驗錯過程．:P

[bvfrew 10]

突然想到另外一個很好玩的想法一_一狠

："b

推理過程看似合理

可．是．有個重點，

要完成整個推理的關鍵動作就是去破解早乙女老頭所說的：

＂你們絕對不知道我哪一天會考試＂

也就是說推理的目的就是讓老頭這句話被破解，

但，有一件事是構成推理成立的關鍵

就是他沒有去跟老頭說：我知道明天要考試！

這樣老頭的前提之一就被推翻了

也要這樣才能算是一個完整的推翻考試過程！

YES!

[ian_chou821 10]

我認為推論的第二項：

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

不夠完整，應是到D這天都還沒考試，才有足夠的條件推出X是E，進而推到第三項：

3. X不會是E。

因此，在第五項：

5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

唯有先確定D那天不考試，才可以利用前面的結論，說X不會是E。即若X != D => X != E，然而在此卻用X != E 去推 X != D，等於是用題目本身證明自己，因此其證明不成立。

[白鹿 11]

最初由 ian_chou821 發表

我認為推論的第二項：

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

不夠完整，應是到D這天都還沒考試，才有足夠的條件推出X是E，進而推到第三項：

3. X不會是E。

最初由 白鹿 發表

1. 如果X是E。

嗯。

[ian_chou821 10]

sorry…第一項露看了XD

不過我忽然有一個想法，如果學生認為考試的日子不存在，那是否代表不論教授在那一天考試，學生都不會知道?

那麼即使教授決定要在最後一天考試，也會因為學生認為不可能在最後一天，所以在到數第二天時不會知道明天要考試。

而學生若在倒數第二天會考慮最後一天是否要考試的話，則原本立論的基礎就動搖了，學生就必需重新考慮前面幾天是否可能會考試。

因此推到一個奇怪的結論，當學生推出每天都不可能考試的瞬間，不管教授選在那一天考試，學生都不會知道…

[白鹿 11]

最初由 ian_chou821 發表

sorry…第一項露看了XD

不過我忽然有一個想法，如果學生認為考試的日子不存在，那是否代表不論教授在那一天考試，學生都不會知道?

嗯，我也是這樣想的...

對於任何可能考試的日子，

不管學生基於什麼理由相信在這個日子會考試，結果會都是這樣：

因為＂不可能有學生知道哪一天考試＂而導致學生認為這個日子不是考試的日子，

然後在這個日子老師就可以發下考卷，然後嘲笑學生:P

[南十字星 10]

我覺得是原本得論點就錯了

因為早已女並沒有說"最後一天不可能考"

而還沒到倒數第2天

所以不之道明天要不要考

而一個適用順序的思考

另一個用倒敘的思考

用倒續的方法雖然聽起來正確卻會有矛盾

因為你一直沒到前一天所以不知道前一天的隔天會不會考

而且一開始就算是對的→最後一天不會考

但到倒數第3天確有2個選擇

所以除非到倒數第2天才會知道最後一天會到

不然其餘到都是未之

[白鹿 11]

設：X是考試的日子

如果X存在，X必定滿足：

a. X是BCDE中的其中一個。

和

b. 早乙女的班上沒有人有恰當的理由來相信說，早已女會在X這天考試。

符合b的條件不是＂早乙女知道早乙女的班上沒有人有恰當的理由來相信說，早已女會在X這天考試＂，而是＂早乙女的班上沒有人有恰當的理由來相信說，早乙女會在X這天考試＂

所以有沒有告訴老頭＂我知道明天（或是某一天）會考試！＂跟有沒有達成或違反條件，並沒有關係:P

[Wind Hong 10]

設：X是考試的日子

如果X存在，X必定滿足：

a. X是BCDE中的其中一個。

和

b. 早乙女的班上沒有人有恰當的理由來相信說，早已女會在X這天考試。

1. 如果X是E。

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

流龍馬的推論把時間順序倒反了。

在A，X可能是BCDE的任何一個，

1.若A不考試，則X是BCDE的其中一個

2.若B不考試

3.則X是CDE其中一個

4.若C不考試

5.則X是DE其中一個

6.若D不考試

7.則X必為E。

我們可以看到，成立X必為E必須先使2.4.6.成立，

相反地，若X不為E則必須使2.4.6.不成立，

但在A，我們沒有足夠的理由使X是B、X是C、X是D、X是E其中一個成立，

同理，我們也沒有足夠的理由X是B、X是C、X是D、X是E不成立。

流龍馬推論的第二點卻預設了X是B、X是C、X是D不成立。

（如果X=D（這個一定是看到美女太興奮了，連鼻血都出來了），則第二點不成立）

他把時間倒反，從時間晚的往時間近的消去，但是考試的可能時間卻是從時間近的往時間晚的消去。

因此，流龍馬的推論錯誤。

結束，請給分。

3. X不會是E。

4. 如果X是D。

5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

6. X不會是D。

7. 如果X是C。。

8. 根據3、6，X不會是E、D，所以在B這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是C。

9. X不會是C。

10. 如果X是B。

11. 根據根據3、6、9，X不會是E、D、C，所以在A這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是B。

12. X不會是B。

13. X不會是BCDE中的任何一個。

[白鹿 11]

同理，我們也沒有足夠的理由X是B、X是C、X是D、X是E不成立。

流龍馬推論的第二點卻預設了X是B、X是C、X是D不成立。

流龍馬的第一點和第二點是一個＂if...then...＂的架構，他先假設了＂X＝E＂，再推論如果等於E的X不會滿足早乙女訂下的條件，所以X不會等於E。

我想，這裡的預設是OK的，因為預設＂X是B、X是C、X是D不成立＂等同於預設＂X是E＂。

不知道我有沒有回應到你。

他把時間倒反，從時間晚的往時間近的消去，但是考試的可能時間卻是從時間近的往時間晚的消去。

因此，流龍馬的推論錯誤。

我可能沒有理解到你要說的點，把時間倒反會惹出什麼麻煩嗎？

如果X的可能候選者有BCDE，推論者只要想辦法說明為什麼BCDE都不是X，就可以證明＂X不存在＂了，不是嗎？跟順序有什麼關係呢？

另外，我覺得你的論證寫得很詳細，這樣很好xd

[Wind Hong 10]

找到問題了，

考試的時間是組合，不是排列，

但他把這個問題當排列解，

所以流馬龍錯了。

這就好像說人會死，可是他說人不會死一樣。（這句話應該比較容易理解，不過有些不同）

這次應該對了XD

[清新旋律 10]

題目說：

「不管我選在哪一天，你們都不可能知道哪一天要考試！」。

請問所謂的不知道，是指什麼時間內不知道？

龍的證明說：

1. 如果X是E。

2. 那麼在D這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是E。

單是這兩句話就有問題。

我們先把「X是E」設為P事件，把「現在是D這一天」設為Q事件，

把「我們知道X是E」設為R事件，則

P且Q→R，而已知此為F

故～R→～P或～Q

第三點的論述應該是「X不是E」或「現在這一天不是D」。

另一個角度來說，P且Q→R，假設文氏圖如下

┌───┐　Ｑ

│┌──┼┐↓

││┌─┼┼┐

└┼┼─┘││

↑└┼──┘│自左上至右下分別為P、Q、R。

│↑└───┘

ＰＲ

單從P或Q不能→R；單從～R不能推到～P。

依照龍的證明，我們改寫成事件代號

1.P。

2.（在P條件下），Q→R（即P且Q→R）

（龍說因矛盾，故認為2為錯，推得1錯）

理所當然的（一個引號代表一個敘述），「P」「且Q→R」應該改成「P且Q」「→R」才對

但是龍認為是「P」「且Q→R」，因此得到矛盾後得到「～P」

但嚴謹而妥當的證明是「P且Q」「→R」，因此得到矛盾後應該得到「～P或～Q」

因此有～Q的可能性。因此～P不一定對。因此3為F。

3. X不會是E。

4. 如果X是D。

5. 根據3，X不會是E，所以在C這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是D。

既然3是錯的，就不需多言了。

6. X不會是D。

7. 如果X是C。。

8. 根據3、6，X不會是E、D，所以在B這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是C。

9. X不會是C。

10. 如果X是B。

11. 根據根據3、6、9，X不會是E、D、C，所以在A這天，我們會擁有恰當的理由來相信說，X是B。

12. X不會是B。

13. X不會是BCDE中的任何一個。

嗯，我發現大家都已經知道問題的核心在何處了，也用不同的方法來論證了。

這就叫做異曲同工