請教 為啥空集合是任何集合的子集？

[vcharng 10]

"集合"為什麼不可以當元素?

{1,0,2*3,{9,7/2}}有什麼問題?

我上面已經講得很清楚了不是嗎

空集合裡頭還可以再找到一個空集,要是裡頭的被當成元素

那外面的不就不是空集合了嗎?

至於你舉的例子,9和7/2才是元素,單憑外面那個殻的話不是.

{9,7/2}被當成元素是因為他裡頭本來就有元素.

簡單來說,空殼子不能當成元素,不然會有我上面說的問題

要比較好理解的方式我也講過了

漁網裡頭包再多層漁網,沒有魚就是沒有魚.

[泛銀河勁爆漱口液 10]

空集合裡面找不到空集合

因為空集合裡面什麼都沒有

我說的是空集合包含於空集合

{1,0,2*3,{9,7/2}}裡面

{9,7/2}是一個元素,屬於{1,0,2*3,{9,7/2}}

但9和7/2不屬於{1,0,2*3,{9,7/2}}

9和7/2都不是元素,{9,7/2}才是

至於包含於

集合A:{4,5,6}

集合B:{4,6}

集合B包含於集合A最B的所有元素都屬於A

但{4,6}不屬於A

以此類推空集合的情況

空集合{ }

空集合{ }

後者包含於前者因為後者的所有元素都屬於前者

但後者不屬於前者

此內容已被編輯, March 31, 2011 ,由 泛銀河勁爆漱口液

[vcharng 10]

空集合裡面找不到空集合

因為空集合裡面什麼都沒有

我說的是空集合包含於空集合

{1,0,2*3,{9,7/2}}裡面

{9,7/2}是一個元素,屬於{1,0,2*3,{9,7/2}}

但9和7/2不屬於{1,0,2*3,{9,7/2}}

9和7/2都不是元素,{9,7/2}才是

至於包含於

集合A:{4,5,6}

集合B:{4,6}

集合B包含於集合A最B的所有元素都屬於A

但{4,6}不屬於A

以此類推空集合的情況

空集合{ }

空集合{ }

後者包含於前者因為後者的所有元素都屬於前者

但後者不屬於前者

不可能,{9,7/2}這個集合包含於外面那個集合

所以9,7/2當然是元素

反倒是{9,7/2}才是集合.

再說,空集合包含於空集合,那就表示空集合仍然是集合,不是元素

簡單來說,集合就是集合,元素就是元素,不要亂搞.

最後,空集合既包含於空集合,何來空集合裡找不到空集合之語?

[泛銀河勁爆漱口液 10]

不可能,{9,7/2}這個集合包含於外面那個集合

所以9,7/2當然是元素

反倒是{9,7/2}才是集合.

再說,空集合包含於空集合,那就表示空集合仍然是集合,不是元素

簡單來說,集合就是集合,元素就是元素,不要亂搞.

最後,空集合既包含於空集合,何來空集合裡找不到空集合之語?

幾乎是顛倒是非

那個集合不"包含於"大集合

它"屬於"大集合

{9,7/2}是一個集合一點關係都沒有,在{1,0,2*3,{9,7/2}}裡面只不過是"一個東西",和1,0,2*3完全等價

但9和7/2個別和{1,0,2*3,{9,7/2}}一點關係都沒有,他們被定義為"不屬於"{1,0,2*3,{9,7/2}}

絕對不可以說9屬於{1,0,2*3,{9,7/2}},因為9不是{1,0,2*3,{9,7/2}}的元素

一個東西是不是元素和他是不是集合沒有關係

{∮}裡,∮被定義成這個集合的元素,而因為有了一個元素,所以{∮}不是空集合

因為這裡的找不到事只"屬於"的關係

沒有任何東西屬於空集是定義

此內容已被編輯, March 31, 2011 ,由 泛銀河勁爆漱口液

[00 10]

空集合是任何集合的子集沒錯，當然也是空集合的子集。沒有東西屬於空集合，所以空集合不屬於空集合。

屬於和包含完全是兩回事。

先回答樓主問題(用<表示包含符號)

A<B的意思是，對於任意x，若x屬於A，則x屬於B。

如果還記得邏輯裡面學的(教材不知刪了沒)若p則q，等價於非p或q(若烏雲來了，等下就會下雨跟等下會下雨，或著烏雲不來是完全一樣的意思，只是前面那句聽起來比較順)

回到原來的問題A<B的定義可以寫成，對於任意x，x不屬於A或著x屬於B。

如果A是空集合，那x不屬於A永遠是對的，所以整句話永遠是對的。

最後，剛剛有人提到空集合能不能當元素，當然可以，舉例來說。

X1={}，X2={{}}，X3={{},{{}}}，X4={{{}}}

X1，X2，X3，X4都不一樣

X1包含於X1,X2,X3,X4。X1屬於X2,X3

X2包含於X2,X3。X2屬於X3,X4

X4包含於X3，但不屬於X3

這不是我瞎掰的，其實用集合論來定義自然數，就跟這類的集合有關。

請看底下連結

http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

直接跳到Constructions based on set theory去看就有了。

[vcharng 10]

幾乎是顛倒是非

那個集合不"包含於"大集合

它"屬於"大集合

{9,7/2}是一個集合一點關係都沒有,在{1,0,2*3,{9,7/2}}裡面只不過是"一個東西",和1,0,2*3完全等價

但9和7/2個別和{1,0,2*3,{9,7/2}}一點關係都沒有,他們被定義為"不屬於"{1,0,2*3,{9,7/2}}

絕對不可以說9屬於{1,0,2*3,{9,7/2}},因為9不是{1,0,2*3,{9,7/2}}的元素

一個東西是不是元素和他是不是集合沒有關係

{∮}裡,∮被定義成這個集合的元素,而因為有了一個元素,所以{∮}不是空集合

因為這裡的找不到事只"屬於"的關係

沒有任何東西屬於空集是定義

屬於是元素和集合之間的關係吧.

那集合怎麼會屬於集合....

當然,你可以說他不是集合,他是元素,然後我們就循環論證了= =

問題是,一個集合是元素這件事本身就很有問題...

再說{∮}不是空集合...一個裡頭只有空集合的集合不是空集合,你要這樣定義當然可以

問題裡頭還是沒有任何有意義的東西存在啊.這樣定義的意義在哪?

我想講的就是,集合不是元素,就這麼簡單

我之前學那麼久沒聽過集合可以當元素的,如果只是為了解釋方便暫時把他這樣看還沒關係

但把這兩個混為一談就太過份了

再說,9不屬於大集合?那敢問子集的定義"一集合之元素全數屬於另一集合"是怎麼回事?

還有,沒事不要說別人顛倒是非,除非你存心不想和這個人繼續談下去.

[泛銀河勁爆漱口液 10]

如果我的語氣有冒犯之處

我道歉

你指的意義是什麼?

如果你指的是說空集合沒有意義

那{∮}當然也就沒有意義了

但空集合當然有意義阿

我不相信考過那麼多試之後居然沒遇到{1,0,2*3,{9,7/2}這種題目

不管什麼東西都可以是元素

只要這個集合定義它是

A:{x|x包含自然數},那它的元素就必然是無限個集合

B:{y|y不等於1},那{1,1,1,1}也是它的元素之一,因為{1,1,1,1}不等於1

如果要說9是它的元素,那7會什麼不是?

{1}和{0}和{1,0}和{{9,7/2}}都是{1,0,2*3,{9,7/2}}的子集合

在{1,0,2*3,{9,7/2}}挑元素出來,掛上{}就是{1,0,2*3,{9,7/2}}的子集合

這樣才是"一集合之元素全數屬於另一集合"不是媽?

所以{{9,7/2}}是{1,0,2*3,{9,7/2}}的子集合,{9,7/2}不是

其實維基百科還滿清楚的

學長可以看看#55

[vcharng 10]

如果我的語氣有冒犯之處

我道歉

你指的意義是什麼?

如果你指的是說空集合沒有意義

那{∮}當然也就沒有意義了

但空集合當然有意義阿

我不相信考過那麼多試之後居然沒遇到{1,0,2*3,{9,7/2}這種題目

不管什麼東西都可以是元素

只要這個集合定義它是

A:{x|x包含自然數},那它的元素就必然是無限個集合

B:{y|y不等於1},那{1,1,1,1}也是它的元素之一,因為{1,1,1,1}不等於1

如果要說9是它的元素,那7會什麼不是?

{1}和{0}和{1,0}和{{9,7/2}}都是{1,0,2*3,{9,7/2}}的子集合

在{1,0,2*3,{9,7/2}}挑元素出來,掛上{}就是{1,0,2*3,{9,7/2}}的子集合

這樣才是"一集合之元素全數屬於另一集合"不是媽?

所以{{9,7/2}}是{1,0,2*3,{9,7/2}}的子集合,{9,7/2}不是

其實維基百科還滿清楚的

學長可以看看#55

等一下,我突然想到了一點

你這篇裡講到{x| x 屬於N}對吧

這無限多個自然數的元素,確實是每一個都可以看成一個集合沒有錯

比方說{1, 2, 3, 4, 5} 可以看成{{1}, {2}, {3}, {4}, {5}}

之前所說的把集合看成元素,指的是把這個過程反過來做嗎?

那,又為什麼說A={1,2, {3,9}}的3和9不屬於 A?

又或者,不屬於是指沒有直接屬於?

那麼如果是這樣的話, 那{1, 2, 3, 4, 5}<=>{{1}, {2}, {3}, {4}, {5}}這個過程就又有問題了

因為兩者會變成不是等價的= =

最後還是不能把元素當成集合啊= =

[泛銀河勁爆漱口液 10]

這.....抱歉我完全看不懂你在說什麼= =

等別的高手來解釋吧= =

不過我說的是{x|x"包含"....}.........其他的我都看不懂= =

[vcharng 10]

這.....抱歉我完全看不懂你在說什麼= =

等別的高手來解釋吧= =

不過我說的是{x|x"包含"....}.........其他的我都看不懂= =

呃....好啦

就是說...一個裡頭裝滿所有自然數的集合

到底能不能看成無限多個集合,每個集合裡裝一個自然數呢

比方說

{1,2,3,4,5,....}=>{{1},{2},{3},.....}

那如果照你說的話,右邊的這個集合,1,2,3都不屬於他,{1},{2}...才屬於他

也就是說上面這個式子是錯的

那又和你說的元素可以視為集合相悖....

[五月飛雪 11]

vcharng

可以請你去翻翻集合論的書嗎?

你從頭到尾搞不清楚狀況, 一直混淆包含和屬於

大家都講得很清楚了

全世界只有你還不懂

打從一開始你那個畫圖法就是錯的

所以你後面一直跳針說空集合可以再畫出一個空集合

沒這回事！

此內容已被編輯, April 1, 2011 ,由 五月飛雪

[五月飛雪 11]

如果集合A 的每一個元素 ，都是集合B的元素 ， 則稱A是B的子集合

那麼當A是空集合的時候，當然也符合「A 的每一個元素都是B的元素」這句話

如果一時難以接受，考慮那句話的否定敘述「存在著某些A的元素，它(們)並不是B的元素」

顯然空集合是不符否定敘述的，它沒有元素，自然就找不到不屬於B的東西出來，所以是B的子集合。

"元素" 可以是任何物件，是任何，不一定要數字。

所以，{ 台北 , 台中 , 25 , 三年忠班 , [m] , 垃圾桶 , sinθ } 也形成一個集合，裡面有七個元素

其中包含了地名、正整數、班級、生日蛋糕圖、生活用品、函數

而且注意，班級也是一個集合，裡面有學生

換句話說，集合可以是一個元素

所以，有時候，可能會出現「集合的集合」，

也就是說像這樣子 A = { {1,3,5,7,9} , {2,4,6,8,10} }

為了方便，稱呼 {1,3,5,7,9} 和 {2,4,6,8,10} 分別為B和C

A 裡面只有兩個元素，B和C

B和C各有五個元素，分別是十以下的奇數和偶數。

但這十個數都不屬於A

唯有B和C屬於A

我們可以說 {1,3} 包含於 B ，是B的子集合，因為 1和3都是B的元素

但是{1,3} 不包含於 A ，因為 A 裡頭的元素叫做 B和C，並沒有1與3

{ } 是個空集合 ， 裡面沒有元素

{ { } , 1} 有兩個元素，分別是 集合和正整數，一個叫空集合，一個叫1

{ { } } 只有一個元素，就是 { } ，是空集合，

{ { } } 是 { { } , 1} 的子集合，因為它的唯一一個元素也在 { { } , 1}裡面。

[vcharng 10]

如果集合A 的每一個元素 ，都是集合B的元素 ， 則稱A是B的子集合

那麼當A是空集合的時候，當然也符合「A 的每一個元素都是B的元素」這句話

如果一時難以接受，考慮那句話的否定敘述「存在著某些A的元素，它(們)並不是B的元素」

顯然空集合是不符否定敘述的，它沒有元素，自然就找不到不屬於B的東西出來，所以是B的子集合。

"元素" 可以是任何物件，是任何，不一定要數字。

所以，{ 台北 , 台中 , 25 , 三年忠班 , [m] , 垃圾桶 , sinθ } 也形成一個集合，裡面有七個元素

其中包含了地名、正整數、班級、生日蛋糕圖、生活用品、函數

而且注意，班級也是一個集合，裡面有學生

換句話說，集合可以是一個元素

所以，有時候，可能會出現「集合的集合」，

也就是說像這樣子 A = { {1,3,5,7,9} , {2,4,6,8,10} }

為了方便，稱呼 {1,3,5,7,9} 和 {2,4,6,8,10} 分別為B和C

A 裡面只有兩個元素，B和C

B和C各有五個元素，分別是十以下的奇數和偶數。

但這十個數都不屬於A

唯有B和C屬於A

我們可以說 {1,3} 包含於 B ，是B的子集合，因為 1和3都是B的元素

但是{1,3} 不包含於 A ，因為 A 裡頭的元素叫做 B和C，並沒有1與3

{ } 是個空集合 ， 裡面沒有元素

{ { } , 1} 有兩個元素，分別是 集合和正整數，一個叫空集合，一個叫1

{ { } } 只有一個元素，就是 { } ，是空集合，

{ { } } 是 { { } , 1} 的子集合，因為它的唯一一個元素也在 { { } , 1}裡面。

最上面的情緒性發言我就無視了.

紅字部份我理解沒有問題

藍字部份和我從另外幾位的說法得到的猜測一樣.

今天有一個集合A

{自然數, 自然數的平方根}

所以意思是3不屬於但包含於A?

然後也因為如此,我們不能在自然數的集合底下再去劃分奇數和偶數兩個集合?

(這是我對這一套說法最大的懷疑,因為直觀上非常的奇怪)

因為如果劃分下去,本來3屬於自然數就會變成不屬於,只是包含於了喔.

比方說這樣

本來是N1={1,2,3,4,....}

變成這樣N2={{奇數},{偶數}}

而奇數={1,3,5,.....}

照版上諸位的說法,這個改寫的過程是不可以的

因為3屬於N1卻不屬於N2,因此N1和N2的定義並不是等價的

但,我們明明都知道,N1和N2包含的東西完全一樣.

這就變成說,只不過是多隔了一層,裡面包的東西完全一樣

結果這兩個集合變成是不同的東西了.

當然,定義是人做的,想怎樣定義都可以,如果定義真的是這樣我也沒輒

只是覺得很索然,很咬文嚼字罷了.

[五月飛雪 11]

就跟你說你搞不清楚包含和屬於了

也跟你說過你那個畫圖法是錯的

沒有什麼多畫出來這回事

不唸書還在這跳針

A = { 1,3, 5}

那麼3 不會 "包含於" A

因為從頭到尾 3 就不是集合, 所以沒有包不包含的問題

但是可以說 3 屬於 A

集合 {3} 包含於 A , 但不屬於 A

如果 B = { 1, {3} , 5 }

那麼 集合 {3} 屬於B , 但不包含於B , 因為 B並沒有3這個元素

如果 C = {1,3, {3} ,5}

我們可以說 3屬於C , 也可以說 {3} 屬於C , 也可以說 {3} 包含於C

如果你把剛剛的A , 照你說的亂畫

變成 { {1},{3}, {5}} 那就變成另一個集合了, 它不等於A

為什麼呢?

因為打從一開始你自認很直觀的那個奇怪的畫圖法就是錯的

既然你用跟人家不一樣的東西出發

那麼很自然的會導出一些莫名其妙的東西

此內容已被編輯, April 2, 2011 ,由 五月飛雪

[五月飛雪 11]

指出你錯誤、叫你翻書這是情緒性發言?

如果這就是你的求學態度....................

麻煩你快去翻書

你會發現全天下的數學家都錯了

只有你是對的

[vcharng 10]

指出你錯誤、叫你翻書這是情緒性發言?

如果這就是你的求學態度....................

麻煩你快去翻書

你會發現全天下的數學家都錯了

只有你是對的

叫別人去翻書這樣態度叫很好嗎?(順帶一提我手邊沒有集合論的書,三年以上沒念了)

算了,反正既然是我搞錯了,那就這樣

只是我很不爽你那種高高在上的語氣

學術討論總是有對有錯,甚至如果我們討論的不是科學的話,兩邊都沒有錯也是可能的

有東西搞錯了就活該被你說成這樣,這是一個理性的討論應該要做的事嗎?

再說你搬出求學態度這四個字就有問題了,我可不是像原PO是來這裡請教問題的

我只是個路過進來討論的人而已,我並不需要壓低自己的尊嚴或什麼的來"懇求您的賜教"

此內容已被編輯, April 2, 2011 ,由 vcharng

[泛銀河勁爆漱口液 10]

哇嗚學長們

這裡是數學版阿

重點是把邏輯整理清楚

不要這麼火爆阿= =

[vcharng 10]

哇嗚學長們

這裡是數學版阿

重點是把邏輯整理清楚

不要這麼火爆阿= =

我也不想...雖然我承認我脾氣不好

總之,原PO的問題得到解答了,還順帶釐清"集合裡不能隨便多畫一層"這一點

也算差不多了吧

雖然我還是很想知道"一個集合裡只有一個空集合他就不是空的"這樣定義的意義何在= =

還是說只是別的定義衍生的副產品?

[victor2923 10]

我也不想...雖然我承認我脾氣不好

總之,原PO的問題得到解答了,還順帶釐清"集合裡不能隨便多畫一層"這一點

也算差不多了吧

雖然我還是很想知道"一個集合裡只有一個空集合他就不是空的"這樣定義的意義何在= =

還是說只是別的定義衍生的副產品?

讓我來猜猜

由於集合裡有元素的話就不是空集合

所以如果一個集合裡有一個元素是空集合的話，他就不是空集合

冏，看來集合論也是有些違背直覺的地方

[泛銀河勁爆漱口液 10]

數學本來就是這種東西= =

感覺到什麼不是什麼

數學告訴你什麼才是什麼= =

[victor2923 10]

其實這些我們的數學課本都沒什麼講到

他應該多寫一些東西以防我們遇到這些鬼打牆的情況......

(不過學資排列組合的題目他媽的多啊)

要是集合論在多...

[vcharng 10]

讓我來猜猜

由於集合裡有元素的話就不是空集合

所以如果一個集合裡有一個元素是空集合的話，他就不是空集合

冏，看來集合論也是有些違背直覺的地方

我有印象當初高中教到集合論的時候,不只是我,班上很多人也有這樣的情形= =

其實這些我們的數學課本都沒什麼講到

他應該多寫一些東西以防我們遇到這些鬼打牆的情況......

(不過學資排列組合的題目他媽的多啊)

要是集合論在多...

原來如此...我還以為是我忘光了= =

此內容已被編輯, April 2, 2011 ,由 vcharng

[sandman 11]

GOOGLE空集合

查到這個

http://zh.math.wikia.com/index.php?title=%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88&variant=zh

想到這些問題：

空集合可數嗎?

一個集合裡面可以有幾個空集合?

只包含一個空集合的集合，就不是空集合。

實在搞不懂數學，這麼創造出一個由無到有的東西

此內容已被編輯, April 2, 2011 ,由 sandman

[紫玥乄 10]

GOOGLE空集合

查到這個

http://zh.math.wikia.com/index.php?title=%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88&variant=zh

想到這些問題：

空集合可數嗎?

一個集合裡面可以有幾個空集合?

只包含一個空集合的集合，就不是空集合。

實在搞不懂數學，這麼創造出一個由無到有的東西

這要看你所討論的是元素與集合還是集合與集合的關係

如果把空集合視為一個元素,

則一個集合理面只能有一個空集合,因為元素有互異性

而如果是集合與集合的關係

集合可以包含空集合,空集合再包含空集合....一直LOOP下去

但是這樣能說一個集合裡能有無限個空集合嗎?

這我就不知道了

這就是數學偉大與好玩的地方(H)

[五月飛雪 11]

叫別人去翻書這樣態度叫很好嗎?(順帶一提我手邊沒有集合論的書,三年以上沒念了)

算了,反正既然是我搞錯了,那就這樣

只是我很不爽你那種高高在上的語氣

學術討論總是有對有錯,甚至如果我們討論的不是科學的話,兩邊都沒有錯也是可能的

有東西搞錯了就活該被你說成這樣,這是一個理性的討論應該要做的事嗎?

再說你搬出求學態度這四個字就有問題了,我可不是像原PO是來這裡請教問題的

我只是個路過進來討論的人而已,我並不需要壓低自己的尊嚴或什麼的來"懇求您的賜教"

請你翻書是哪裡態度不好?

奇怪耶, 如果我沒弄錯的話 , 你應該還是學生吧?

對於一個學生 / 助教 / 老師 , 我請他翻翻書是很奇怪的事情嗎?

就算你是上班族好了, 叫你翻書請你查個資料又怎麼樣?

我無法理解, 對你來說翻書是個很屈辱的動作嗎?

現在就是因為至少兩個人已經講得很清楚了, 你還要用很奇怪的比喻繼續詭辯

而這東西卻又是最基本的定義

這種情況只好叫你翻書了呀, 不然請問我還該怎麼辦?

你可以告訴我嗎 ? 我該怎麼辦?

請你指教一下, 如果你遇到像你這種人, 解釋半天他都不接受, 如果不請他自己翻書該如何應對?

再來, 求學態度這四個字是哪裡有問題?

一個人難道脫離學生身份就不再學習了? 何況你還是學生

你現在就是有錯誤的觀念, 不只一個人在費心解釋給你聽

你對集合論就是不懂, 不懂就是要搞懂 (若你說你不想搞懂的話, 那請問你回半天那些是啥)

那不就是求學?

一定要坐在教室聽課, 或是上網po文問問題才叫求學?