三角極值問題

[第六天魔王 10]

兩位大大都很厲害呢

能分析的如此徹底

[乂月之雪乂囧 10]

函數在極值處的導數 (或者說微分) =0

運用導數的除法定則：　就可以了

我知道除法定則，可是請問一下這題要如何微分??

可以幫忙列出一下詳細的式子嗎??(大家都太高手了...)

[howt 10]

給定邊界的連續可微函數，最大值與最小值發生在微分等於零時或邊界上。

[乂月之雪乂囧 10]

給定邊界的連續可微函數，最大值與最小值發生在微分等於零時或邊界上。

嗯，感謝大大，我了解了。

可是例如(sinx)(cosx-(3^-0.5)sinx) (3^-0.5就是根號3分之ㄧ= =)(X在0到60度)

像這條式子要怎麼求出呢??

此內容已被編輯, August 25, 2010 ,由 乂月之雪乂囧

[core2 10]

函數在極值處的導數 (或者說微分) =0

運用導數的除法定則：　就可以了

恕我不太懂樓主的除法定則，

是否就是對f(x)=(-2t^2+2t+2)/(1+t^2)取導數(其中t=tanx)，

如果不是的話，

能否請教樓主的算法。

我的想法比較單純，

因為sinx的導數就是cosx，

而cosx的導數就是 -sinx，

何不直接對原函數取導數，

得f’(x)= -4sin2x+2cos2x=0，

因此tan2x=1/2處有極值(因為tan2x>0，所以在 I、III象限)，

再將邊界條件代入tan2x=2tanx/(1-tan^2(x))，

得新邊界 -4/3≦tan2x≦正無限大，

在第 I 象限的tan2x=1/2落在條件內，

所以得cos2x=2/Sqrt(5)、sin2x=1/Sqrt(5)，

代入原函數得f(x)= Sqrt(5)，

在第 III 象限的tan2x=1/2落在條件外，

故原函數直接代邊界值tan2x= -4/3、cos2x=3/5、sin2x= -4/5，

得f(x)=2/5。

說明：

如果學校還沒有教三角函數的導數，

沒關係只要你拿一枝筆當成一條切線，

在sinx及cosx圖形上走一趟，

記錄各角度切線的斜率，

就會明白為什麼sinx的導數就是cosx，

以及cosx的導數就是 -sinx的道理了。

此內容已被編輯, August 27, 2010 ,由 core2

[core2 10]

嗯，感謝大大，我了解了。

可是例如(sinx)(cosx-(3^-0.5)sinx) (3^-0.5就是根號3分之ㄧ= =)(X在0到60度)

像這條式子要怎麼求出呢??

至於閣下的問題，

先用2倍角公式將函數化成，

f(x)=1/2(sin2x-(3^-0.5)(1-cos2x))，

取導數得f'(x)=cos2x--(3^-0.5)sin2x=0，

則tan2x=3^0.5，極值出現在60度、240度，

2x的邊界條件0~120度，

‧‧‧

其他如前題。

此內容已被編輯, August 26, 2010 ,由 core2

[congeebone 10]

得新邊界 -4/3≦tan2x≦正無限大

請問一下這行怎麼算出來的?

我也是直接sin2x cos2x去微分

但代邊界值的時候我不會算出tan2x的邊界

只好用tanx的兩邊界值代回得二函數值去比較了

煩請賜教

[core2 10]

請問一下這行怎麼算出來的?

我也是直接sin2x cos2x去微分

但代邊界值的時候我不會算出tan2x的邊界

只好用tanx的兩邊界值代回得二函數值去比較了

煩請賜教

我傻傻的將 -1/2≦tanx≦1，

直接代入tan2x=2tanx/(1-tan^2(x))，

得到-4/3≦tan2x≦正無限大，

不知道對不對請多指正。

[congeebone 10]

我傻傻的將 -1/2≦tanx≦1，

直接代入tan2x=2tanx/(1-tan^2(x))，

得到-4/3≦tan2x≦正無限大，

不知道對不對請多指正。

我就是不知道要怎麼代啊

[core2 10]

我就是不知道要怎麼代啊

抱歉，

剛才沒看懂你的問題，

令tanx=1 代入tan2x=2tanx/(1-tan^2(x))=2/(1-1)=正無限大，

令tanx= -1/2 代入tan2x=2tanx/(1-tan^2(x))= -2/2/(1-1/4)= -4/3，

所以得到-4/3≦tan2x≦正無限大，

敬請指正。

此內容已被編輯, August 27, 2010 ,由 core2

[congeebone 10]

喔 原來是這樣

可是如果-1/2≦tanx≦3/2

那麼不是就不能只代入兩點就求範圍了

[core2 10]

喔 原來是這樣

可是如果-1/2≦tanx≦3/2

那麼不是就不能只代入兩點就求範圍了

沒錯，

此題直接代公式條件範圍為-1≦tanx≦1，

-1/2≦tanx≦3/2請教你如何算？

謝謝你的指正，

並請賜教。

[congeebone 10]

沒錯，

此題直接代公式條件範圍為-1≦tanx≦1，

-1/2≦tanx≦3/2請教你如何算？

謝謝你的指正，

並請賜教。

你太客氣了

如果範圍是-1/2≦tanx≦3/2

代回tan2x不就函數值沒有連續?

所以把tanx=1的情形考量進去就行了

(如有誤,煩請指正)

如果把題目範圍改成-1/2≦tan2x≦1

貌似答案還要把範圍寫成兩段

所以我總覺得算成tan2x再代回的那個地方好像邏輯上有什麼不完備之處,卡卡的

第一點:把tanx轉成tan2x在同一區間內會增根,這樣還要代回檢驗,不就挺麻煩的?

第二點:那個"正無限大"可以不用理他?

(我是因為這題才開始碰些基礎的微分計算,新手上路,所以有誤請不吝指正)

[core2 10]

你太客氣了

如果範圍是-1/2≦tanx≦3/2

代回tan2x不就函數值沒有連續?

所以把tanx=1的情形考量進去就行了

(如有誤,煩請指正)

如果把題目範圍改成-1/2≦tan2x≦1

貌似答案還要把範圍寫成兩段

所以我總覺得算成tan2x再代回的那個地方好像邏輯上有什麼不完備之處,卡卡的

第一點:把tanx轉成tan2x在同一區間內會增根,這樣還要代回檢驗,不就挺麻煩的?

第二點:那個"正無限大"可以不用理他?

(我是因為這題才開始碰些基礎的微分計算,新手上路,所以有誤請不吝指正)

其實你真的很棒，

你應該剛升高三吧，

換句話說你連選I數都還沒教吧，

你卻能主動問、不斷想，

把每個細節都弄清楚，

不愧是一流學校的一流學生，

如果這題我有心得會再跟你討論。

(不過學測、指考應該不會這樣考才對)

[congeebone 10]

其實你真的很棒，

你應該剛升高三吧，

換句話說你連選I數都還沒教吧，

你卻能主動問、不斷想，

把每個細節都弄清楚，

不愧是一流學校的一流學生，

如果這題我有心得會再跟你討論。

(不過學測、指考應該不會這樣考才對)

實在不敢當

我只是追根究底的心強了些

有些地方的邏輯還是疏漏的很

雖然最近要專心準備學測了

但這樣討論問題真的挺不錯的

很感謝你願意和我討論

不然獨學而無友,則孤陋而寡聞

我也就只能侷限於一地了