三角極值問題

[space20021 10]

f(x)=2cos2x+sin2x

現-1/2≦tanx≦1

求f(x)之範圍

直接解解不出來

試過把f(x)以微分方式求解成功

但想知道如何用一般高中數學方法解?

[congeebone 10]

實在不太確定

因為剛剛才算出第一次就馬上發現錯誤了

現在第二次算完 仍在找錯中

2/5≦f(x)≦√5

如有錯誤 懇請告知

(自然是用高一算法，如無誤，也可互相切磋算法，因為我對微分幾乎可視為是無知就是了)

此內容已被編輯, August 21, 2010 ,由 congeebone

[第六天魔王 10]

應為給了正切函數的範圍

用萬能公式吧

[congeebone 10]

萬能公式(驚!)

請不吝惜賜教

[space20021 10]

實在不太確定

因為剛剛才算出第一次就馬上發現錯誤了

現在第二次算完 仍在找錯中

2/5≦f(x)≦√5

如有錯誤 懇請告知

(自然是用高一算法，如無誤，也可互相切磋算法，因為我對微分幾乎可視為是無知就是了)

嗯答案的確是這樣沒錯，剛剛用微分算了一次XD

[congeebone 10]

看來微分是王道啊

可否教我這式子如何微分?

[第六天魔王 10]

cos2x=(1-tan^2(x))/(1+tan^2(x))

sin2x=2tanx/(1+tan^2(x))

tan2x=2tanx/(1-tan^2(x))

帶入原式代換

[leo820504 10]

抱歉= =

其實樓主這篇是我發的

等我發完才發現頭圖怪怪的= =

真是抱歉@@

是說一樓的解法是??

[￡～熊熊～♂ 10]

((同班的偷偷回復一下XDD))

我用萬能公式代入後

結果到最後還是偷偷的微了一下XD

其實這題可以直接疊合

然後用tan(x)的範圍

稍微畫一下 x 的範圍 ((可利用單位圓

在把 2x 的範圍找出來就大功告成了~XD

說的很簡單 不過中間計算我覺得還滿複雜的 @@

[space20021 10]

看來微分是王道啊

可否教我這式子如何微分?

函數在極值處的導數 (或者說微分) =0

運用導數的除法定則：　就可以了

[congeebone 10]

cos2x=(1-tan^2(x))/(1+tan^2(x))

sin2x=2tanx/(1+tan^2(x))

tan2x=2tanx/(1-tan^2(x))

帶入原式代換

代入後呢?

剛剛我朋友說代入後就掛了

並且語重心長的勸我:萬用萬萬不能用

(後來發現微分還是得用)

此內容已被編輯, August 21, 2010 ,由 congeebone

[congeebone 10]

((同班的偷偷回復一下XDD))

我用萬能公式代入後

結果到最後還是偷偷的微了一下XD

其實這題可以直接疊合

然後用tan(x)的範圍

稍微畫一下 x 的範圍 ((可利用單位圓

在把 2x 的範圍找出來就大功告成了~XD

說的很簡單 不過中間計算我覺得還滿複雜的 @@

同感

我就是用這法

[蝴蝶♂ 10]

函數在極值處的導數 (或者說微分) =0

運用導數的除法定則：　就可以了

呵低嗨減嗨低呵除以呵呵

觸低手減手低觸除以觸觸

[congeebone 10]

呵低嗨減嗨低呵除以呵呵

觸低手減手低觸除以觸觸

這口訣也太妙

[Whoopeeee! 10]

這題我也是用微分解欸~

很快 只是帶根號分數有點煩

[congeebone 10]

函數在極值處的導數 (或者說微分) =0

運用導數的除法定則：　就可以了

終於會用了

但f(-0.5)為何可以確定是min值

也就是在f(-1+sqrt2)和f(-0.5)為何不會有個更小的數

這點我有些不明白

可否指點迷津

另外

你們班上也太高手如雲了吧

人人都會微分解

此內容已被編輯, August 21, 2010 ,由 congeebone

[congeebone 10]

這題我也是用微分解欸~

很快 只是帶根號分數有點煩

其實三角法不見得比較慢

但列式和思考都要冷靜清楚

不然很容易出錯

[健健XD 10]

算了三種算法之後(畫圖.疊合.微分)

還是覺得

微分最快~"~....

而且是真的超快=口="

[congeebone 10]

算了三種算法之後(畫圖.疊合.微分)

還是覺得

微分最快~"~....

而且是真的超快=口="

可能是因為我微分還不熟(剛剛才會用的)

所以還不很快

另外,畫圖和疊合法可以獨自使用?不是要相互輔助使用嗎?

(你們該不會都是同一班的吧)

[congeebone 10]

今天早上我又請教了朋友一下，

發現自己還搞錯許多地方的，

對於這題我給出一些小心得：

1.直接微分最快，要用萬能公式代回去的時候再說。(所以也不見得要用分式的微分定理啦)

2.微分真的很奇妙，基於此理由，我把題目的條件做些微更改，希望大家能提供一些好的算法(尤其是使用微分)

f(x)=2cos2x+sin2x

(1)當-1/2≦cosx≦1

(2)當-1/2≦tan2x≦1

求f(x)的範圍

此內容已被編輯, August 22, 2010 ,由 congeebone

[第六天魔王 10]

帶入後不是tanx的分式嗎

設tanx=t 且-1/2≦t≦1

分式函數求值域利用一元二次判別式法

[leo820504 10]

帶入後不是tanx的分式嗎

設tanx=t 且-1/2≦t≦1

分式函數求值域利用一元二次判別式法

??不懂

可以列算式??

[00 10]

帶入後不是tanx的分式嗎

設tanx=t 且-1/2≦t≦1

分式函數求值域利用一元二次判別式法

被你一點我突然想起來這個方法，太久沒算這種題目了。XD

設tanx=t 且-1/2≦t≦1

cos2x=(1-t^2)/(1+t^2)

sin2x=2t/(1+t^2)

2cos2x+sin2x=(-2t^2+2t+2)/(1+t^2)

(-2t^2+2t+2)/(1+t^2)=a 我們現在要求a的範圍，把這個分式乘開得

(a+2)t^2-2t+(a-2)=0，由於t必須是實數利用一元二次判別式法

4-4(a+2)(a-2)>=0 解開得 sqrt(5)>=a>=-sqrt(5)

當a=sqrt(5)時解(a+2)t^2-2t+(a-2)=0得t=sqrt(5)-2有在-1/2≦t≦1的範圍裡所以sqrt(5)是最大值。

但a=-sqrt(5)時解出來的t不在範圍裡，所以-sqrt(5)不是最小值。至於還有沒有不要用微積分的方法算最小值，我再想想XD。

[★Nameless★ 10]

修正錯誤, 重發文

此內容已被編輯, August 23, 2010 ,由 ★Nameless★
修正錯誤

[★Nameless★ 10]

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用反三角函數觀念 (一點都不可怕!)

設θ為銳角，當tanθ=1/2，則cosθ=2/√5

由於「深藍」無法書寫反函數符號，

寫成 cos ARC tan(1/2)=2/√5；sin ARC tan(1/2)=1/√5

-----------------------------------------------------

原式整理為 f(x)=2cos2x+sin2x=√5 cos(α–2x)

其中 cosα=2/√5；sinα=1/√5

由 –1/2≦tan x≦1

(x介於Ⅰ及Ⅳ象限)

ARC tan(–1/2)≦x≦Π/4

亦即 –ARC tan(1/2)≦x≦Π/4

–2ARC tan(1/2)≦2x≦Π/2

α–Π/2≦α–2x≦α＋2ARC tan(1/2)

(α–2x介於Ⅰ及Ⅳ象限，穿越X軸)

因此 2/5√5≦cos(α–2x)≦1，即 2/5≦√5 cos(α–2x)≦√5

註：cos(2ARC tan(1/2))＝2cos(ARC tan(1/2))^2－1＝2×(2√5)^2－1＝3/5

sin(2ARC tan(1/2))＝2sin(ARC tan(1/2))×cos(ARC tan(1/2))＝2(1√5)×(2√5)＝4/5

此內容已被編輯, August 23, 2010 ,由 ★Nameless★
重發文