【分享】硬幣遊戲，公不公平?

[00 10]

可能有些人看過，規則是這樣的，連續寫三個正或反構成一個序列，總共八種，對手先請你挑一個序列，他挑一個，開始擲硬幣，誰的序列先出現的贏。

舉例:

你選的序列:正正反。

對手的序列:反反正。

投擲硬幣結果:正反正反正正反。

這樣是你贏了，因為正正反先出現，而且之前並沒有出現反反正的序列。

問題:今天你的一位朋友邀請你玩這個遊戲，並以10元為賭注，並請你優先挑選一個序列，你要不要和他玩?(請不要考慮其他因素，只要期望值大於或等於0就跟他玩)。

[howard91 10]

要!!

其實不用考慮這麼多

因為2個人的立場完全相同

所以期望值等於0

[Xiang 10]

要!!

其實不用考慮這麼多

因為2個人的立場完全相同

所以期望值等於0

事實上，兩個人的立場應該沒有完全相同

因為題目有說，是「你優先選」

痾，就不要用嚴格的數學計算好了

下面是我猜的啦，並不是很確定

就是阿，如果你選了「反正反］好了（隨便打的）

他不如就選個「反反正」，這樣應該就很有機會比你早出現

（你選「ＡＢＣ」，他就選「ＤＡＢ」，其中ＤＡ≠ＢＣ）

痾，沒有實際算過期望值什麼的，不過這應該是個不公平的遊戲才對

[howard91 10]

事實上，兩個人的立場應該沒有完全相同

因為題目有說，是「你優先選」

痾，就不要用嚴格的數學計算好了

下面是我猜的啦，並不是很確定

就是阿，如果你選了「反正反］好了（隨便打的）

他不如就選個「反反正」，這樣應該就很有機會比你早出現

（你選「ＡＢＣ」，他就選「ＤＡＢ」，其中ＤＡ≠ＢＣ）

痾，沒有實際算過期望值什麼的，不過這應該是個不公平的遊戲才對

但是這2個是獨立事件阿

所以不影響

例如：

第一組：A先選(正正正) B後選(反反反)

第二組：C先選(反反反) D後選(正正正)

這兩組分別是誰比較有優勢呢?

應該都是一樣的吧

所以期望值為0

[Xiang 10]

但是這2個是獨立事件阿

所以不影響

例如：

第一組：A先選(正正正) B後選(反反反)

第二組：C先選(反反反) D後選(正正正)

這兩組分別是誰比較有優勢呢?

應該都是一樣的吧

所以期望值為0

痾，為什麼要那樣選哩，我不是有說選法了嗎

第一組：A先選(正正正) B後選(反正正)

第二組：C先選(反反反) D後選(正反反)

這樣對於每次前面的出現的情形

後面的都有1/2的機會「出現且在它前面」

應該可以先排除他為獨立事件的可能

基本上幾乎是可以不用驗證才對

後面的機率應該比前面打大，詳細算應該很複雜

（題目有要求先出現的贏，就算出現的機率一樣也沒意義！）

[heinsolid 10]

痾，為什麼要那樣選哩，我不是有說選法了嗎

第一組：A先選(正正正) B後選(反正正)

第二組：C先選(反反反) D後選(正反反)

這樣對於每次前面的出現的情形

後面的都有1/2的機會「出現且在它前面」

應該可以先排除他為獨立事件的可能

基本上幾乎是可以不用驗證才對

後面的機率應該比前面打大，詳細算應該很複雜

（題目有要求先出現的贏，就算出現的機率一樣也沒意義！）

我還不肯定後手是否有優勢，但覺得你的講法有漏洞，因為擲硬幣序列不能無限向前追溯，勢必要有第一次。

晚點我寫個程式來試算看看。

[ijsfkira 10]

似乎是先取不利...(?)

設甲先取 他必不取AAA的型(只有 AAA ABA AAB BAA四型)

假設它取ABA

那麼我的三項這樣取:第一項隨便都沒差 我選A好了 剩下兩項取甲的頭兩項AB

首先 對於前面三項來說 這兩種取法的機率均一樣

但是 對於後面的項數開始 我可以確保這樣的取法必定有優勢

Proof:

對於我和甲兩人要獲勝 中間兩項必定相同為AB

由於我們關注的重點是後面的項數 我確定AB前面必有一項

(我們可以回朔的原因在於:前面不重要 因為前面不論怎麼取 機率均相同)

A和B各有一半機率

如果是A的話 就是我獲勝了

但也可能是B 這樣的話甲「頂多」是不敗

他要獲勝 得要是第四項為A 但事實上第四項有一半的機率是B

這樣的話遊戲得繼續進行

我可以確定我獲勝的機率大於甲

對於其他型的論證相同

這之所以是不公平的遊戲不在於序列出現的機率(事實上都相同)

而是在於先取的人是被動的

他要獲勝的項是放在後面

他不僅得在乎前面一項 還得看後面一項

大概吧(笑)

機率真是subtle的東西

PS

樓主阿樓主

不要每次PO出問題後就消失啦~~~

[Xiang 10]

呼，剛剛稍微又想了一下

其實這只是個直覺啦，看到題目時就覺得應該會這樣

事實上題目給的條件很詳細，要做非常精細的計算想必也是沒問題的

不過，計算這種東西還是能免就免吧

首先，還是先重覆一下我的答案

就是先選的選「ＡＢＣ」，後選的就選「ＤＡＢ」

然後ＤＡ和ＢＣ不相同（有一個不同即可）

再來，我們先來看看，這個遊戲的結果可能有哪些

（就把先選的組合稱為「甲」，後選的稱為「乙」吧

（在此不探討同一個出現幾次，但我想這也不太影響結果

1. 甲和乙只出現其中一個，毫無意問，出現的那個會獲勝

我想就這種情形來說，兩者機率一樣，應該是沒有太大的問題的

2. 甲和乙都沒出現，這個更沒問題了

3. 甲和乙都出現了，重點就在這個地方，把它分兩部份討論吧

3.1 甲和乙，各自獨立出現（即兩個沒有使用重複的硬幣）

根據遊戲規則，獲勝的就是在前面（先出現）的那個

而兩者機率一樣，應該也是不需要多討論的

3.2 甲和乙，兩者相依（有共同的硬幣），這就是重點了

首先，我們先要確定一件事情，就是這種情形可能發生，也就是機率大於0

不過我想這應該是不需要討論的，我們可以確定它絕對有可能發生，不管機率有多低

再來，就是誰發生的機率大，誰發生的機率小了

根據我們選法，要以這種形式出現的可能其實並不多

大概只有ＤＡＢＣ這種（當Ｄ＝Ｃ時，會多出另一種ＡＢＣ（＝Ｄ）ＢＡ）

到這裡應該就可以很明顯的看的出來，乙在前面（獲勝）的機率比較大！

（要在八個中出現指定五個的機率比四個還低）

結論就是乙獲勝的機率比甲大（乙的期望值大於０，反之甲的小於０）

不是很嚴格的論述，不過應該能夠清楚的解釋後者的優勢是存在的！

[a5480221 10]

似乎是先取不利...(?)

設甲先取 他必不取AAA的型(只有 AAA ABA AAB BAA四型)

假設它取ABA

那麼我的三項這樣取:第一項隨便都沒差 我選A好了 剩下兩項取甲的頭兩項AB

首先 對於前面三項來說 這兩種取法的機率均一樣

但是 對於後面的項數開始 我可以確保這樣的取法必定有優勢

Proof:

對於我和甲兩人要獲勝 中間兩項必定相同為AB

由於我們關注的重點是後面的項數 我確定AB前面必有一項

(我們可以回朔的原因在於:前面不重要 因為前面不論怎麼取 機率均相同)

A和B各有一半機率

如果是A的話 就是我獲勝了

但也可能是B 這樣的話甲「頂多」是不敗

他要獲勝 得要是第四項為A 但事實上第四項有一半的機率是B

這樣的話遊戲得繼續進行

我可以確定我獲勝的機率大於甲

對於其他型的論證相同

這之所以是不公平的遊戲不在於序列出現的機率(事實上都相同)

而是在於先取的人是被動的

他要獲勝的項是放在後面

他不僅得在乎前面一項 還得看後面一項

大概吧(笑)

機率真是subtle的東西

PS

樓主阿樓主

不要每次PO出問題後就消失啦~~~

根據您的意思

甲先選 ABA

乙後選 AAB

可能有八種結果(AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB)

甲乙3回合分勝負 甲乙各1/8

甲乙3回合後甲佔優 1/8(第四回開始) (BAB)

甲乙3回合後已佔優 1/8(第四回開始) (BAA)

甲乙3回合後55波 1/2(第四回開始)

------>甲乙勝率相同

用樹枝圖畫完 甲乙勝率相同

<小小見解 歡迎指教 3Q~:P>

[a5480221 10]

我無聊又畫了好多好多的樹枝圖觀察發現~~~

總共情形有下列這些情況

1.先AAA 後BAA

2.先AAB 後-1 AAA 後-2 BAA

3.先ABA 後-1 AAB 後-2 BAB

4.先ABB 後-1 AAB 後-2 BAB

3項內 先後勝率相同

3項後 (後-1 先後勝率相同 但 後-2 後選者勝率較大)

好神奇的現象~=.=

PS:9樓剛好只是其中的一種

<小小見解 歡迎指教 3Q~>

[ijsfkira 10]

我無聊又畫了好多好多的樹枝圖觀察發現~~~

總共情形有下列這些情況

1.先AAA 後BAA

2.先AAB 後-1 AAA 後-2 BAA

3.先ABA 後-1 AAB 後-2 BAB

4.先ABB 後-1 AAB 後-2 BAB

3項內 先後勝率相同

3項後 (後-1 先後勝率相同 但 後-2 後選者勝率較大)

好神奇的現象~=.=

PS:9樓剛好只是其中的一種

<小小見解 歡迎指教 3Q~>

恩 我的論證似乎是有瑕疵的XD

[ijsfkira 10]

呼，剛剛稍微又想了一下

其實這只是個直覺啦，看到題目時就覺得應該會這樣

事實上題目給的條件很詳細，要做非常精細的計算想必也是沒問題的

不過，計算這種東西還是能免就免吧

首先，還是先重覆一下我的答案

就是先選的選「ＡＢＣ」，後選的就選「ＤＡＢ」

然後ＤＡ和ＢＣ不相同（有一個不同即可）

再來，我們先來看看，這個遊戲的結果可能有哪些

（就把先選的組合稱為「甲」，後選的稱為「乙」吧

（在此不探討同一個出現幾次，但我想這也不太影響結果

1. 甲和乙只出現其中一個，毫無意問，出現的那個會獲勝

我想就這種情形來說，兩者機率一樣，應該是沒有太大的問題的

2. 甲和乙都沒出現，這個更沒問題了

3. 甲和乙都出現了，重點就在這個地方，把它分兩部份討論吧

3.1 甲和乙，各自獨立出現（即兩個沒有使用重複的硬幣）

根據遊戲規則，獲勝的就是在前面（先出現）的那個

而兩者機率一樣，應該也是不需要多討論的

3.2 甲和乙，兩者相依（有共同的硬幣），這就是重點了

首先，我們先要確定一件事情，就是這種情形可能發生，也就是機率大於0

不過我想這應該是不需要討論的，我們可以確定它絕對有可能發生，不管機率有多低

再來，就是誰發生的機率大，誰發生的機率小了

根據我們選法，要以這種形式出現的可能其實並不多

大概只有ＤＡＢＣ這種（當Ｄ＝Ｃ時，會多出另一種ＡＢＣ（＝Ｄ）ＢＡ）

到這裡應該就可以很明顯的看的出來，乙在前面（獲勝）的機率比較大！

（要在八個中出現指定五個的機率比四個還低）

結論就是乙獲勝的機率比甲大（乙的期望值大於０，反之甲的小於０）

不是很嚴格的論述，不過應該能夠清楚的解釋後者的優勢是存在的！

恩 結果= =

你的和我的其實是一樣的

[Xiang 10]

恩 結果= =

你的和我的其實是一樣的

什麼意思= =?

誰跟你一樣 囧

[Xiang 10]

根據您的意思

甲先選 ABA

乙後選 AAB

可能有八種結果(AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB)

甲乙3回合分勝負 甲乙各1/8

甲乙3回合後甲佔優 1/8(第四回開始) (BAB)

甲乙3回合後已佔優 1/8(第四回開始) (BAA)

甲乙3回合後55波 1/2(第四回開始)

------>甲乙勝率相同

用樹枝圖畫完 甲乙勝率相同

<小小見解 歡迎指教 3Q~:P>

樹枝圖是真的把256種情形畫完了嗎？

而且在第幾回合勝出會影響機率喔

話說我覺得那個55波有很大的討論空間，先不提那個好了

甲乙3回合後已佔優 1/8(第四回開始) (BAA)

乙有1/2的機率勝出，但是，如果沒勝出的話

只有唯一可能BAAA，一樣又可獲得1/2的勝出機會

而且在這種情形下，甲勝出的機率為0！

但是對於

甲乙3回合後甲佔優 1/8(第四回開始) (BAB)

卻沒有這項福利，BABB等於是要重新來

[源良 10]

遊戲是不公平的.

例如甲選 正正正,乙選 反正正.

這樣乙就有7/8機會贏.

這是因為甲唯一能贏的可能性是一開始連開3個正.不然首三個必有一個是反,這樣 反正正 必定比 正正正 出現得早.首三個都是正的機會只有1/8.

如甲選其他組合,乙都可因應選比較有利的組合,不過未必有7:1這麼大的優勢而已.

其他組合的機率計算太複雜了,有空才再研究.

[phoe˙ 10]

假如甲先選+++則乙後選-++

對乙比較有利((除非很賽"第一個"就+，後面跟著++

假如甲先選- - - ((則情況跟一開始一樣

其他情況

甲選ABC則乙只要選+/- AB((就是不要選+++/- - -

獲勝機率就跟甲一樣是50%((碰運氣= =

這是只是我初步的想法啦ˊˇˋ

[Xiang 10]

遊戲是不公平的.

例如甲選 正正正,乙選 反正正.

這樣乙就有7/8機會贏.

這是因為甲唯一能贏的可能性是一開始連開3個正.不然首三個必有一個是反,這樣 反正正 必定比 正正正 出現得早.首三個都是正的機會只有1/8.

如甲選其他組合,乙都可因應選比較有利的組合,不過未必有7:1這麼大的優勢而已.

其他組合的機率計算太複雜了,有空才再研究.

你似乎忘了誰都沒贏的機率

還有不一定要一開始就要輸贏

再來，在什麼時候贏（前後）會影響機率

非常粗糙的計算，不如不要寫出數字

...

...

還以為有什麼新的想法或說明

明明就有其他回文一樣，何必多PO一篇呢

也沒有其他有建設性的意見

[源良 10]

你似乎忘了誰都沒贏的機率

還有不一定要一開始就要輸贏

再來，在什麼時候贏（前後）會影響機率

非常粗糙的計算，不如不要寫出數字

還以為有什麼新的想法或說明

明明就有其他回文一樣，何必多PO一篇呢

也沒有其他有建設性的意見

呵,沒人贏時還是會一直擲下去的,始終還是會有人贏.

還有,若一開始不是連開三個正,甲必輸,賭多少都可以.

這是邏輯,開始連開三個正的機率誰不會算?

還有樓主只是問遊戲公平不,有一種情況不公平不就是不公平了嗎?

你的計算可很妙,連給出機率的勇氣也沒有,只是含糊其辭地說不公平.

別人發帖也是想討論一下罷了,你何必惡性攻擊呢?

[00 10]

這題出自一本叫數字的陷阱的書裡的第七章。那章主要的內容主要是告訴我們有些事物沒有辦法按照一定的序列排出高下。

硬幣遊戲只是他舉的例子之一，詳細的機率沒有在書中討論。

書上只寫了兩個特例

1.你選正正正，對手選反正正，你贏的機率是1/8，樓上有人解說過。

2.你選反正正，對手選正反正，除非一開始前三個是反正正，否則正反正有1/2的機率搶先出來，反之則不成立。

因為書上沒有詳細計算機率，我自己也算不出來，而且覺得這個問題有趣，所以拿出來討論。

版主請我公布解答，不知道這樣的回覆是否OK?

[筱釵 10]

謝謝你的配合^^

加入精華XD

話說....我這題從頭到尾都是狀況外

[rm2slg 10]

可能有些人看過，規則是這樣的，連續寫三個正或反構成一個序列，總共八種，對手先請你挑一個序列，他挑一個，開始擲硬幣，誰的序列先出現的贏。

舉例:

你選的序列:正正反。

對手的序列:反反正。

投擲硬幣結果:正反正反正正反。

這樣是你贏了，因為正正反先出現，而且之前並沒有出現反反正的序列。

問題:今天你的一位朋友邀請你玩這個遊戲，並以10元為賭注，並請你優先挑選一個序列，你要不要和他玩?(請不要考慮其他因素，只要期望值大於或等於0就跟他玩)。

我目前沒有精確的機率

但是單說後選者是否有利的話，那麼答案是肯定的

先考慮只有一個形成的序列

則非正即反，顯然兩方獲勝機率是1/2

也就是說

不管你選甚麼序列ABC（ABC分別代表一種正反）

則對方選ABC'（C'指與C相反的面）

即可至少與你達成各1/2的獲勝率

現在考慮兩個形成的序列

有AA、AB、BA、BB四種

假設現在你選AA

則對手只要選BA

先看一開始，

除非一開始一直出現AA

否則一旦出現B則必敗無疑

所以

這樣的勝率分別是1/4及3/4

所以

如果你選擇ABB這種序列

對手可以選擇AB'B他的勝率是你三倍

如果是其他序列ABC

對手也可以選ABC'與你分別有50%的勝率

所以期望值必小於零

後選者有利

[woieyufan 10]

這題出自一本叫數字的陷阱的書裡的第七章。那章主要的內容主要是告訴我們有些事物沒有辦法按照一定的序列排出高下。

硬幣遊戲只是他舉的例子之一，詳細的機率沒有在書中討論。

書上只寫了兩個特例

1.你選正正正，對手選反正正，你贏的機率是1/8，樓上有人解說過。

2.你選反正正，對手選正反正，除非一開始前三個是反正正，否則正反正有1/2的機率搶先出來，反之則不成立。

因為書上沒有詳細計算機率，我自己也算不出來，而且覺得這個問題有趣，所以拿出來討論。

版主請我公布解答，不知道這樣的回覆是否OK?

所以要不要玩的正解是...?

[arthurduh1 10]

我也是從《數字的陷阱》這本書看到的，後來我有試著算算看，發現不管先手選哪一個序列，後手真的都能找到一個機率更大的序列。(先手在此指先挑硬幣序列的人)

至於機率可以用以下方法運算：

舉先手選「正反正」，後手選「反反正」的例子。

令在賭局過程任一時間點，

前兩次結果為「正正」時先手勝率為

前兩次結果為「正反」時先手勝率為

前兩次結果為「反正」時先手勝率為

前兩次結果為「反反」時先手勝率為

那麼可列出的另一個表示式：

因為在「正正」的情形下，

有0.5的機率會擲出「正」，此時局面又是「正正」的情況，故有這一項；

但也有0.5的機率擲出「反」，此時局面是「正反」的情況，故有。

同理可得

特別說明這一項是因為當局面為「正反」時，若下一步擲出「正」，一切就結束了，先手贏得比賽，故勝率為1。

將全部的表示式聯立，

特別說明這一項是因為在「反反」情況下，若擲出「反」，後手即獲勝，先手勝率為0

如此解得

因比賽剛開始擲出兩次硬幣後，

「正正」、「正反」、「反正」、「反反」出現機率各為0.25，

亦即先手勝率是

以上是算法，諸位可以自行嘗試，驗證後手的優勢是存在的。

[= 0 = 10]

但是如果先選的把正反錯開來就不會有優勢了吧

例如:正反正

是嗎???

[arthurduh1 10]

但是如果先選的把正反錯開來就不會有優勢了吧

例如:正反正

是嗎???

喔，不。

我舉的例子剛好是你說的「正反正」喔！

其實這真的是很容易被誤解的一點，

你會因為「正反正」和「反正反」的出現機率一樣就認為

「正反正」和「反正反」可以不吃虧。

但是看看我算出來的結果，

先手(正反正)的勝率是3/8

小於0.5喔！

「反反正」可克制「正反正」。

不管你選擇哪種序列，

後手終究會找到機率比你大的序列。

你可以自己試著算算看。

挺有趣的！