【問題】三次迭代等於x的函數

[夢境的行旅 10]

題曰：

若f:R→R滿足對所有x

f ( f ( f (x))) = x

1.若f(x)是連續函數，找出所有可能的f

2.有無不是連續函數的例子

3.迭代變成更多次，上面兩題答案是否不變

說明：這是一個過期很久的每月一題，現在我也找不到原本的網站，所以自然也沒有正解。

這裡是我的一點想法

明顯f(x)=x符合所求，但x不可能是兩次以上的多項式函數這樣兩邊deg不會相同。f也不是單純的指數對數函數或三角函數......。但是連續函數家族人口浩繁，扣除了上述，還有沒有滿足的成員我就不知道怎麼找了。

有的人可能有印象這個函數f (x) = 1-1/x，迭代兩次f ( f (x)) = 1/(1-x)，三次剛好變成x。

而且f在x=0處不連續，所以就是第二題的一例。其實假設y=(ax+b)/(cx+d)，可以算出

for all b≠0, d為實數 a=1-d c=(-1+d-d^2) / b，y=(ax+b)/(cx+d)即符合所求

其實可把f ( f ( f (x))) = x看成　f ( f (x)) 和 f(x)互為反函數

D f ( f (x)) = f' ( f (x)) f' (x) = 1/ f' (x) 反函數導數為函數導數倒數

又，將原式f ( f ( f (x))) = x微分

→　f' ( f ( f (x))) f' ( f (x)) f' (x)=1

和上面一樣的地方代換得

f' ( f ( f (x))) = f' (x) 希望大家眼睛還沒花

雖然我不會解這個東西

∫f' ( f ( f (x))) dx = f(x)

但我起碼知道f' (x) = c　是一個可能

即f(x) = cx+k k必為1 迭代次數是偶數次的話f(x) = - x也合

以上

[夢境的行旅 10]

f ( f ( f (x))) = x兩邊微分→f' ( f ( f (x))) f' ( f (x)) f' (x) = 1------A式

也把f ( f (x)) =f ^ [-1](x)兩邊微→f' ( f (x)) f' (x)=1 / [f' (x)] ------B1式

即f' ( f (x)) = 1 / [f' (x)]^2 -------B2式

這兩個式子成立的時候即f(x)對R連續可微

發現，用B1、B2可以把A降次化簡

f' ( f ( f (x))) f' ( f (x)) f' (x) = 1

→f' ( f ( f (x))) / f' (x) =1

→ 1 / [f' (f (x))]^2=f' (x)

底線再代換！！！

→ [f' (x)]^4 = f' (x) 寫成(y' )^4 - y'=0。這是微分方程嗎？不管，直接解出y'=0 or 1

y=C(不合)，或y = x+C　C只能是０

所以(好像)連續函數的f只有f(x)=x一解，以上。

PS迭代四次f(f(f(f(x))))=x，可以設g(x)=f(f(x))，和兩次一樣，答案有f(x)=±x，所以第三小題答案應是不一樣。更多次我就不知道了。

[chpohoa1 10]

連續不代表可微阿...

而且你的B1式有誤，令 f 的反函數為g ，g' 怎麼會等於 1/f' 呢?

g' = 1/ f ' (g) 才對

[夢境的行旅 10]

所以說思路就斷掉了。這題該怎麼想才完善呢？

還是那句話：連續函數那麼多我怎麼知道從何找起......