【問題】不知道大家有沒有去算各校的徵試題...希望能幫忙解惑一下

[Bill滴貓 10]

求過(2.0) (6.0) 且與拋物線y=x*x相切之圓方程式

最近無聊在算一些學校的推徵試題,而這題我卡了很久...

[whitey320 10]

恩 .....我也卡了很久

我是令切點座標(t.t^2)

最後解出來居然是要解t^4+4t-12=0 (感謝更正)

不知有沒有算錯= ='

這四次方程式我也去解了

應該是a=[8 + 8(65)^(0.5)]^(1/3)+[8 - 8(65)^(0.5)]^(1/3)

代入[ -a^(0.5)+{ -a + [8/(a^0.5) ] }^(0.5) ]/2

真是不堪入目= = 計算機按按約是1.551

不知對不對=.=

[jacafe 10]

求過(2.0) (6.0) 且與拋物線y=x*x相切之圓方程式

最近無聊在算一些學校的推徵試題,而這題我卡了很久...

設圓心座標(4,t)→圓方程式：(x-4)^2+(y-t)^2=q,其中t,q為常數

設圓與拋物線相切於(α,α^2)

對拋物線作一次微分→斜率：2α

對圓作一次微分→斜率(4-2α)/(α^2-t)

因相切→兩切線斜率相等→α一解(重根)→D=0

但我到這裡就卡住了，不知過程是否有誤= ="

[Bill滴貓 10]

我有用作圖軟體去畫那四次式的根 得到的x值就大約為1.57順帶一提2樓求得的四次式與我不同耶這是我的式子１.令圓心座標為(4,K) ,圓方程式為(X-4)^2+(Y-K)^2=4+K^2.............................第一式

又圓與Y=X^2相切

令Y=X^2帶入第一式

得(X-4)^2+(X^2-K)^2=4+K^2

展開 X^4+(1-2K)X^2-8X+12=0

由於此式不為四重根>>為2實根(重根)2虛根

令f(x)=X^4+(1-2K)X^2-8X+12..............第2式

f '(x)=4X^3+2(1-2K)X-8........第3式

第3式*X-第2式*2

得2X^4+8X-24=0 ,X^4+4X-12=0...........第4式

(到這邊求得的四次式與2樓的有所不同)

順帶一提 由於X^4+4X-12=0 屬於有理係數方程式

而由牛頓定理得知此式無有理根>>因此根為無理數

又由第一式有重根這點來看 K必為無理數....大約為1.57

二樓的能討論一下你的式子嗎?

而且我也用軟體畫了t^4+4t-16=0的圖 得到的值約為1.72

P.S.

3樓的方法是沒錯的(至少我是這麼認為)

不過如果一直算下去就會求得(類似,要看你的圓心座標是不是跟我設的一樣)

X^4+(1-2K)X^2-8X+12

4X^3+2(1-2K)X-8

X^4+4X-12=0

算到這裡,我是在想,若是不要執著於求出圓心或者是切點座標

反而照題意直接求出圓方程式呢?

只是我這想法到也沒得到啥好的發展就是了

[whitey320 10]

抱歉應該是我打錯

因為我是半夜算的 計算紙早就扔了

我只記得我解出的答案是多少 計算機按按等等

不過我並不是用相切重根去解

我是利用切線斜率是2t 然後求出過切點和切線垂直的線方程式

和X=4求出圓心座標 (t表示) 在利用圓心到(2 ,0)和(t.t^2)距離相等求出此式

a=[8 + 8(65)^(0.5)]^(1/3)+[8 - 8(65)^(0.5)]^(1/3)

代入[ -a^(0.5)+{ -a + [8/(a^0.5) ] }^(0.5) ]/2即為t

應該不會錯 這是我用四次方程式標準解法解出的

計算機按過了 至少這值滿足t^4+4t-12=0

[Bill滴貓 10]

a=[8 + 8(65)^(0.5)]^(1/3)+[8 - 8(65)^(0.5)]^(1/3)

可以問一下你此式如何出來的麼?

[heinsolid 10]

可以問一下你此式如何出來的麼?

傳說中的法拉利公式吧，三、四次方程的公式解都是很噁心的。

http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation

我求出方程的步驟稍有不同，用的是圓冪定理(切線長平方=長短割線乘積)，不過最後都還是要對付四次方程啊。

[Bill滴貓 10]

一個徵試題竟然要用公式解....看起來真麻煩...

[whitey320 10]

一個徵試題竟然要用公式解....看起來真麻煩...

這正是我覺得最詭異的地方

不過3 4次方程式的公式解會太噁心

我都是背下解法 使用起來會快速的多

我想樓上那原文太高深了 (.我討厭英文:'() 我就簡單講講巴= ="

基本上4次方程式可用配方轉變成(某某)平方=(某某)平方 其中內有添加某一變數a

如此便可轉換成某某=正負某某

至於這a則要解三次方程式 三次方就相對親近人多了

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三次方程式必須經由平移成X^3+pX+q=0的形式在繼續運算

再令X=a+b 便可得出a^3+b^3+3ab(a+b)+p(a+b)+q=0

即a^3+b^3+q +(3ab+p)(a+b)=0

如果能找到(a,b)滿足a^3+b^3=-q 3ab=-p 則a+b滿足原式X^3+pX+q=0

再由(a^3+b^3)^2 -4(ab)^3=a^3-b^3 , 即q^2-4p^3/27=a^3-b^3

求出a^3和b^3

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補充:

雖然如此一來此三次式有3根 (a+b , aw^2+bw , aw+bw^2) 但只要取其實根作為4次式的配方項即可