【問題】一題微分方程式

[珊瑚海 10]

x' + 2x + y = 0

y' + x + 2y + z =0

z' + y + 2z = 0

試求x y z的一般解

我想這題應該是用矩陣來解吧

不過一時還沒想出來怎麼解

[Zeta 10]

齊性微分方程組用矩陣來解還不錯，或是用逆算子 ( 反微分算子 ) 應該也都可以

若方程組有附帶初始條件，拉氏轉換會是很好的選擇

[psi 10]

dV=AV

d表示微分,V=[x y z]的transpose,

A=

[-2 -1 0]

[-1 -2 -1]

[0 -1 -2]

再另V=PU,

P為以A的eigenvector為column的矩陣,原式變為:

dPU=PdU=APU

左右各乘上P的反矩陣P^-1,得到

P^-1PdU=dU=P^-1APU

最後P^-1AP為一個對角矩陣,輕鬆解U,再代回去解V...

這是課本的標準解法,求P的時候數字很醜....應該有更快的....等人來分享吧.

[珊瑚海 10]

dV=AV

d表示微分,V=[x y z]的transpose,

A=

[-2 -1 0]

[-1 -2 -1]

[0 -1 -2]

再另V=PU,

P為以A的eigenvector為column的矩陣,原式變為:

dPU=PdU=APU

左右各乘上P的反矩陣P^-1,得到

P^-1PdU=dU=P^-1APU

最後P^-1AP為一個對角矩陣,輕鬆解U,再代回去解V...

這是課本的標準解法,求P的時候數字很醜....應該有更快的....等人來分享吧.

我的解法和你略有不同啦

因為A = PDP^-1

其中D是Eigenvalue所構成的對角矩陣

代進去之後U' = DU

這樣可以不用求P^-1的值

不過並沒有快多少

我才疏學淺還沒找到更快的解法

[heinsolid 10]

讀物理選訓教材時，有看過類似的方法，不是很嚴謹，不曉得可不可行。

令D表示微分算符，然後D'=D+2，則原方程可改寫如下：

D'x+y=0

x+D'y+z=0

y+D'z=0

x,y,z有不定解的條件是係數行列式等於0，因此：

|Ｄ'１ ０ |

|１ Ｄ'１ | = D'^3 - 2D' = 0 = D'[D'+√2][D'-√2] = (D+2)(D+2+√2)(D+2-√2)

|０ １ Ｄ'|

令α=exp[(-2-√2)t], β=exp[(-2+√2)t], γ=exp(-2t)

取D'=-√2可解得：x=z, y=√2x

可設：x=Aα, y=√2Aα, z=Aα

取D'=√2可解得：x=z, y=-√2x

可設：x=Bβ, y=-√2Bβ, z=Bβ

取D'=0可解得：x+z=0, y=0

可設：x=Cγ, y=0, z=-Cγ

線性組合後可得通式：

x=Aα + Bβ + Cγ

y=√2Aα - √2Bβ

z=Aα + Bβ - Cγ

α=exp[(-2-√2)t], β=exp[(-2+√2)t], γ=exp(-2t)

[珊瑚海 10]

讀物理選訓教材時，有看過類似的方法，不是很嚴謹，不曉得可不可行。

令D表示微分算符，然後D'=D+2，則原方程可改寫如下：

D'x+y=0

x+D'y+z=0

y+D'z=0

x,y,z有不定解的條件是係數行列式等於0，因此：

|Ｄ'１ ０ |

|１ Ｄ'１ | = D'^3 - 2D' = 0 = D'[D'+√2][D'-√2] = (D+2)(D+2+√2)(D+2-√2)

|０ １ Ｄ'|

令α=exp[(-2-√2)t], β=exp[(-2+√2)t], γ=exp(-2t)

取D'=-√2可解得：x=z, y=√2x

可設：x=Aα, y=√2Aα, z=Aα

取D'=√2可解得：x=z, y=-√2x

可設：x=Bβ, y=-√2Bβ, z=Bβ

取D'=0可解得：x+z=0, y=0

可設：x=Cγ, y=0, z=-Cγ

線性組合後可得通式：

x=Aα + Bβ + Cγ

y=√2Aα - √2Bβ

z=Aα + Bβ - Cγ

α=exp[(-2-√2)t], β=exp[(-2+√2)t], γ=exp(-2t)

你算的答案跟我相同

應該是可行的