【數學】期望值

[訪客 urto]

最初由 九天驚虹 發表

袋中有3紅球、5綠球，每球被取的機率相同，今從袋中：

(1)取球三次，每次一球，取後放回，求取得紅球個數的期望值為___。

(2)取球三次，每次一球，取後不放回，求取得紅球個數的期望值為___。

(3)一次取出?............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

.....小弟愚見

期望值

再計算時

取N個可視為取一個*N

所以跟取後是否有放回無關吧!!!

[九天驚虹 10]

最初由 urto 發表

最初由 九天驚虹 發表

袋中有3紅球、5綠球，每球被取的機率相同，今從袋中：

(1)取球三次，每次一球，取後放回，求取得紅球個數的期望值為___。

(2)取球三次，每次一球，取後不放回，求取得.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

怎麼會知道取n個的期望值就就是能簡化成先取一個的期望值再乘上n呢?

並有沒解釋到為何能這樣做，

就推導出與取後或取出並不會影響期望值，

似乎不太正確。

[訪客 urto]

最初由 九天驚虹 發表

最初由 urto 發表

最初由 九天驚虹 發表

袋中有3紅球、5綠球，每球被取的機率相同，今從袋中：

(1)取球三次，每次一球，取後放回，求取得紅球個數的期望值為___。

(2)取?............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

我記得書上有教

所以我就這樣寫嚕~^^

對不起沒辦法給你很完整的解釋

[九天驚虹 10]

最初由 urto 發表

最初由 九天驚虹 發表

最初由 urto 發表

最初由 九天驚虹 發表

袋中有3紅球、5綠球，每球被取的機率相同，今從袋中：

(1)取球三次，每次一球，取後放回，.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

取n個的期望值就可以簡化成先取一個的期望值再乘上n

在期望值這章節裡是非常重要的技巧 應該每本書都會提到吧XD

而在這三小題裡 除了第二種狀況外 其他的都很容易解釋

第二種情況才是難纏

因為在取球與下一次取球是會影響的情況的

這一題我也問了老師許多次 有提出一個解釋方法

反正結果都是要取三球 而三種取球方法中每次都有機會取到紅球 那麼期望值也會相同

雖然不是挺嚴謹的 不過也不是沒道理XD

[weiye 10]

最初由 五月飛雪 發表

因為它只問這三次有幾次是取到紅球

並不要求是第幾次

所以第一次取紅球　二三取綠

與一二取綠　第三取紅球

這兩種情況同樣是取出一個紅球

也就是說順序不必考慮

如此一來

拿了不放回　與　同時拿出（當然也無順序可言）

不就一模一樣了嗎

所以第二第三

若改問取出n個紅球的機率是多少　n = 1~3

結果也都一樣

但第一小題就不一樣了

不過紅球數的期望值卻是一樣的

我還想不出箇中奧妙

關於第二跟第三的答案顯然一樣，我的想法也跟你一樣。

關於第一跟第二答案一樣，我的想法也很簡單，

先考慮

袋中有3紅球、5綠球，每球被取的機率相同，今從袋中：

(1)每次一球，取後放回，求取得第 i 球為紅球個數的機率為___。

(2)每次一球，取後不放回，求取得第 i 球為紅球個數的機率為___。 i = 1~8

i=1~8 上列兩個答案都是 3/8 ，由此觀之，可發現不管是第幾次取到紅球的機率都相同，所以前三次取到紅球各數的期望值, (1),(2)都是 3/8 *1 + 3/8 *1 + 3/8*1 = 9/8

至於我引的這個子題裡的每個答案都是 3/8 ，(1) 是很顯然的

而(2)裡，感覺似乎可以用數學歸納法證明，稍微看了一下，可能要用雙重 index 的數學歸納法吧(一個 index 是全部的球數 n ，另一個 index 是取第 i 球為紅球, 證明 取後放回 跟 取後不放回 架構下取第 i 球為紅球的機率相同, for all 1≦i≦n, for all nautral number n)。

有興趣的試試看吧。 :p

而且(2) 裡的式子，讓我感覺，上天都是公平的，就算是取後不放回，第一個次取到紅球的機會，跟第五次取到紅球的機會都一樣，就像是在抽籤的時候(假設紅球算中籤，綠球表示未中籤，共八個人要抽籤)，先抽後抽，其實都是一樣的，第一個人先中籤的話，後面的人中籤機會就變小，可是相對之下，如果第一個沒有中籤，那後面的人中籤的機會又會變大，累加起來的話，可以發現，比較後面抽籤的人中籤的機會跟第一個人是一樣的，而對第一個人而言，取後放回跟不放回又是一樣的，所以不管取後放不會回，不管再第幾順位抽籤，中籤的機會都跟第一個人一樣，上天真是公平呀。 ^^~

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

[冰之水靈 10]

期望值...不就是高二下的咩？

沒有超出範圍呀~~

[給我一杯熱冰砂 10]

一次取一球，取K次=一次取K球，機率會相同

期望值=值*機率和

所以三題的答案會相同...=9/8

[五月飛雪 11]

最初由 給我一杯熱冰砂 發表

一次取一球，取K次=一次取K球，機率會相同

期望值=值*機率和

所以三題的答案會相同...=9/8

登...

那第一題呢?