【數學】期望值

九天驚虹

由 九天驚虹,
在 數學版

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九天驚虹

九天驚虹 10

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袋中有3紅球、5綠球，每球被取的機率相同，今從袋中：

(1)取球三次，每次一球，取後放回，求取得紅球個數的期望值為___。

(2)取球三次，每次一球，取後不放回，求取得紅球個數的期望值為___。

(3)一次取出三球，求取得紅球的個數期望值為___。

觀察這道題目，可以發現三小題的期望值都會相同，但原因何在？

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九天驚虹

九天驚虹 10

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最初由 五月飛雪 發表

第二和第三顯然是一樣的

不過第一小題為什麼會一樣我還想不出來

把３和５各換成別的數字

使得取得次數等於紅球數

綠球數大於紅球數

算出來結果第一和第三題的期望值仍是一樣

真是奇妙．．

(2)有排列的味道,(3)有組合的味道

算法並不相同

請問是如何判斷出(2),(3)小題期望值必然會相同？

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五月飛雪

五月飛雪 11

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因為它只問這三次有幾次是取到紅球

並不要求是第幾次

所以第一次取紅球　二三取綠

與一二取綠　第三取紅球

這兩種情況同樣是取出一個紅球

也就是說順序不必考慮

如此一來

拿了不放回　與　同時拿出（當然也無順序可言）

不就一模一樣了嗎

所以第二第三

若改問取出n個紅球的機率是多少　n = 1~3

結果也都一樣

但第一小題就不一樣了

不過紅球數的期望值卻是一樣的

我還想不出箇中奧妙　

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mapleaf

mapleaf 11

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最初由 五月飛雪 發表

第二和第三顯然是一樣的

不過第一小題為什麼會一樣我還想不出來

把３和５各換成別的數字

使得取得次數等於紅球數

綠球數大於紅球數

算出來結果第一和第三題的期望值仍是一樣

真是奇妙．．

(1)取後放回,為二項分配(binomial distribution)

期望值E(X)=np

(2)取後不放回,為超幾何分配(hypergeometric distribution)

期望值E(X)=np

本題n=3, p=3/8 故期望值都為9/8

以上結果均可證明

註:雖然兩者期望值相同,但是變異數不一樣

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九天驚虹

九天驚虹 10

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二項分配沒教過,但曾看過這樣的文章,

超幾何分配,連聽都沒聽過,而變異數又是什麼鬼東西= ="

這一題,三小題的期望值要相同有個前提

取球次數必須不大於紅球個數

三者的期望值就會相同

以前唸高中時放在"腹鹿" "

是放在課本裡面嗎= ="

記得國中老師有講過,國中教材可能變很多

不過你們的數學課本跟十幾年前我讀的課本內容差不多

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mapleaf

mapleaf 11

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最初由 九天驚虹 發表

二項分配沒教過,但曾看過這樣的文章,

超幾何分配,連聽都沒聽過,而變異數又是什麼鬼東西= ="

這一題,三小題的期望值要相同有個前提

取球次數必須不大於紅球個數

三者的期望值就會相同

以前唸高.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

這部份現在高中課本已經刪除,屬於"統計學"的範疇

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mapleaf

mapleaf 11

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對於統計量:我們關心兩個部份(1)資料集中的趨勢(2))資料離散的趨勢

例如:甲班同學三人 分數各為75, 80, 85

乙班同學三人 分數各為70, 80, 90

我們如何描述這兩班的程度呢? 對了! 平均數是一個很好的描述方法

我們可以用平均數來描述一批資料(團體), 如台灣的平均所得，球隊的平均身高......,

這個統計量代表資料"集中"的趨勢

除了集中趨勢我們關心外, 資料離散趨勢也是非常重要的

以上面例題而言,甲乙班平均程度均為80分,可是乙班的變異就會較大,我們如何將變異

狀況"量化",變異數是非常好的統計量

變異數的定義:

var.gif

中央數學?我就是中央數學畢業的;-)

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九天驚虹

九天驚虹 10

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最初由 mapleaf 發表

對於統計量:我們關心兩個部份(1)資料集中的趨勢(2))資料離散的趨勢

例如:甲班同學三人 分數各為75, 80, 85

乙班同學三人 分數各為70, 80, 90

我們如何描述這兩班的程度呢? 對了! 平均數是一個很好.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

想不到

這裡的變異數跟最近學到的變異數是指同一個東西

那這道題目裡 從哪邊找出變異數呢?

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mapleaf

mapleaf 11

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最初由 九天驚虹 發表

最初由 mapleaf 發表

對於統計量:我們關心兩個部份(1)資料集中的趨勢(2))資料離散的趨勢

例如:甲班同學三人 分數各為75, 80, 85

乙班同學三人 分數各為70, 80, 90

我們如何描述.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

var1.gif

順便提一下:

二項分配的期望值 E(x)=np=(3)(3/8)=9/8

二項分配的變異數 Var(x)=npq=(3))(3/8)(5/8)=45/64

超幾何分配的做法類似, 會發現期望值相同, 變異數不同

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mapleaf

mapleaf 11

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最初由 五月飛雪 發表

原來是學長啊

這麼說您是交大研究所？

不過我註冊後沒去上課．．準備重考

剩不到一個月還在這上網　頗為白目＠＠

最後一個月,保持心情開朗, 維持身體健康比夜夜K書有用

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mapleaf

mapleaf 11

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最初由 九天驚虹 發表

最初由 mapleaf 發表

對於統計量:我們關心兩個部份(1)資料集中的趨勢(2))資料離散的趨勢

例如:甲班同學三人 分數各為75, 80, 85

乙班同學三人 分數各為70, 80, 90

我們如何描述.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

var2.gif

順便提一下:

超幾何分配的期望值 E(x)=np=(3)(3/8)=9/8

超幾何分配的變異數 Var(x)=npq{(N-n)/(N-1)}=(3))(3/8)(5/8)(5/7)=225/448

此處N=8, n=3

理由是二項分配第二次抽不會受第一次的結果影響(相互獨立)超幾何分配則否

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九天驚虹

九天驚虹 10

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最初由 mapleaf 發表

對於統計量:我們關心兩個部份(1)資料集中的趨勢(2))資料離散的趨勢

例如:甲班同學三人 分數各為75, 80, 85

乙班同學三人 分數各為70, 80, 90

我們如何描述這兩班的程度呢? 對了! 平均數是一個很好.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

目前所學到的變異數

看起來跟這個很像

但同中有異orz

在這邊扣掉的是μ(期望值)

而課內所學的是,扣掉算術平均數

而期望值是加權平均,

卻被這樣定義,

難道,算術平均是加權平均的特例?

因此變異數的定義,

適用於加權平均,

自然而然也就適用於算術平均?

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mapleaf

mapleaf 11

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在這邊扣掉的是μ(期望值)

而課內所學的是,扣掉算術平均數

一樣的

例如 70,80,80,90

算術平均數=(70+80+80+90)4

μ(期望值)=70(1/4)+80(2/4)+90(1/4)

μ(期望值)就是隨機變數乘上所對應發生的的機率 一樣的

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極‧KID

極‧KID 11

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喔喔二項分配和超幾何分配應該高中都有教吧@@

二項分配應該就跟排列組合的二項式定理有關吧?

超幾何分配應該是求期望值滿基本的觀念吧@@?

期望值不就是報酬*機率嗎?

只要算出每個條件的機率*發生此機率的報酬

然後全部加起來就是他的期望值吧?

然後關於這題題目

可以推出一個東西

就是作n次期望值=作一次期望值*n

至於紅球取出機率可以用抽獎原理解釋

就是每球取出的機率=顏色球個數/總球數

這題總球數有8顆 紅球有三顆

因此紅球取出機率為3/8

(不知道我說的有沒有錯...)

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五月飛雪

五月飛雪 11

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最初由 魅•{極影} 發表

喔喔二項分配和超幾何分配應該高中都有教吧@@

二項分配應該就跟排列組合的二項式定理有關吧?

超幾何分配應該是求期望值滿基本的觀念吧@@?

期望值不就是報酬*機率嗎?

只要算出每個條件的機率*發生此機率的報酬

?............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

現在是在討論為什麼會一樣∼”∼

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