【數學】0.9999.......=1

[晴 天 10]

想請問阿

之前老師上課剛好問到循環小數化分數

老師就說0.9循環會等於1

我自己算

也真的等於1

但為什麼阿???

0.9循環只是很接近1阿

並不是1阿

[惡魔般的天使 10]

好像是種極限的概念吧？我不清楚喔～只希望能有點幫助。

[weiye 10]

如果你可以接受

1/3 = 0.3333333..........

左右同乘以 3

左邊就變成 (1/3) * 3 = 1

右邊就變成 (0.3333333.......) * 3 = 0.9999999........

所以 1 = 0.9999999..........

0.9999......

不是 0.9999

也不是 0.999999999999

更不是 0.9999999999999999999999999999999999999

只因為 0.9999...... 最後面多了點點點點

表示有無窮多個 9 一直寫下去，所以 0.9999.... 本身就是一個極限值，並不是近似值，

0.99999..... (這個極限值本身) ＝ 1

[mythman 11]

設x=0.999....

10x=9.999...

10x-x=9

x=1

[惡魔般的天使 10]

設x=0.999....

10x=9.999...

10x-x=9

x=1

這個樓主知道啦～他只是疑惑為什麼會這樣。

[咖啡店店長 10]

我是聽過我們老師這樣說過

因為你無法在0.9999...跟1之間找到任何一個實數

所以兩數相等

[晴 天 10]

老師說啥無限接近

就是等於...

但...

終究差那嚜一點點阿!!!

[00 10]

老師說啥無限接近

就是等於...

但...

終究差那嚜一點點阿!!!

不，一點都不差。

好像是種極限的概念吧？我不清楚喔～只希望能有點幫助。

這句話是重點，0.9999...=1，的意思是這樣的

定義Sn=9Σ(0.1)^k，k從1到n，對於一切正數ε，存在正整數N，使得當n>N時，lSn-1l<ε

1是確切值，換成其它數字這句話都不成立。

[chpohoa1 10]

不過也有詭論

let 0.9999....=x

[x]=?

從1- 逼近來看[x]=0

從1來看[x]=1

[weiye 10]

不過也有詭論

let 0.9999....=x

[x]=?

從1- 逼近來看[x]=0

從1來看[x]=1

高微會證明，極限可以穿透連續函數，

0.9999... 是個極限值，

可以定義為 limit (0.99999<共 n個九>) as n → ∞

而根據極限的特性，極限可以穿透連續函數，

也就是如果有數列 x_1, x_2, x_3, .... 收斂至 c

則 limit f( x_n ) = f( limit x_n ) = f©

以上只針對連續函數才可以，

偏偏 [ ] 高斯符號不是連續函數，

(高斯符號是階梯函數， step function，在所有定義域裡整數值的地方有個跳躍)

所以會有上面的詭論是因為誤把高斯符號套用到連續函數的特性。

[晴 天 10]

不，一點都不差。

這句話是重點，0.9999...=1，的意思是這樣的

定義Sn=9Σ(0.1)^k，k從1到n，對於一切正數ε，存在正整數N，使得當n>N時，lSn-1l<ε

1是確切值，換成其它數字這句話都不成立。

我乃小高一...

這些還沒學...

以後好師應該會教吧!!!???

[kennylineage 10]

可以想想看

0.9999....9

要加多少等於1

難道是0.00000...01嗎...

不對= =

因為一停下來就錯了

[aa011854 10]

老師說啥無限接近

就是等於...

但...

終究差那嚜一點點阿!!!

恩...這就是感覺問題了...

我想這用任何方法應該都無法改變這種奇怪的感覺，畢竟看起來就不一樣

換個說法，可以試試看接受0.9999999............是1的另一種寫法吧~~~

(我個人是覺得用找不到任何一個數可以介在1和0.999........之間這種說法比較有說服力的說!!!感覺比較具體，不會太數學化)

[印表雞 10]

我乃小高一...

這些還沒學...

以後好師應該會教吧!!!???

就快了吧

好像高一之內就會學到西個馬

[星乂夢想 10]

0.999999......=99 X 0.01010101...... = 99 X (1/100+1/10000+1/1000000+......)

= 99 X 1/100 X 1/ (1-1/100)

= 99/100 X 100/99

= 1

極限的概念吧!!!如果不能接受它的話><

以後微分一開始~可能會掛掉喔!!!一_一狠

必須接受這種無限接近~就會有極值的想法!!!(雖然我也不太會~我只是小高一):E

[想要飛 10]

恩阿~~數學就是有很多奇怪的事情會發生，這也是為什麼數學好玩的地方了~讓人又愛又恨呢 :@

[cindy91332 10]

我是聽過我們老師這樣說過

因為你無法在0.9999...跟1之間找到任何一個實數

所以兩數相等

恩...那有理數的稠密性怎麼說...?

[weiye 10]

恩...那有理數的稠密性怎麼說...?

有理數得稠密性是指：任兩個相異的有理數之間，必存在第三個有理數。

所以，如果有兩個有理數 a, b，我不知道 a,b 是不是相異，

但是如果我知道，a, b 之間不存在任何一個有理數的話，

那根據有理數的稠密性，可以得到 a=b 。

[內演人 10]

首先 我們先不要管那些數學上的想法

我們單純的看 在生活中 我們如何定義1

當個體為單位時 我們說 1是代表這個體單位之數量 也無庸置疑

就像我們常說的 1支 1隻 1個 1位 1打 1尊....甚至1莫耳

但當我們以度或量為單位時

這1代表的不再是一個無庸置疑的數量

例如1公分 你要如何定義這公分?

是的! 藉由測量

但這當中是絕對有誤差存在的

所以我們才要加上估計值 這1公分 往往會寫成 1.00公分

估計值 就是在假設這誤差為非常非常微小時 所以叫估計 因為不能確定

現在回到數學上

當我們定義數 如果常數c 屬於整數n 也就是說他只能是整數 那當然 c 不會出現

0.5, 1.2, 3.6 .....的數字

但如果c屬於任意數C 那麼 0.000000001, 0.999999999999, 2.0000000001等等的數就有可能為c 這時這就不再是單純的個數概念 單位不再是個體 而是量 一種抽象的量 也就是說 所有的值都是一種估計 所以我們為了把這抽象的實體化 我們允許了其中的誤差

至於0.999999999999999999.......的循環數等於1在數學上 不會是錯 但也不會是對

因為這當中始終是有誤差

如同0.0000000000000..............1我們會說他"等於"(事實上說趨近於比較好)零 但 他卻能擺在分母 因為他始終 "不等於"0

這當中是一種極限的概念 也就是說 一切都是估計 絕對會有誤差 但誤差很小 小到應該忽略與接受 也是從這極限的概念 我們才有微分跟積分

[星乂夢想 10]

首先 我們先不要管那些數學上的想法

我們單純的看 在生活中 我們如何定義1

當個體為單位時 我們說 1是代表這個體單位之數量 也無庸置疑

就像我們常說的 1支 1隻 1個 1位 1打 1尊....甚至1莫耳

但當我們以度或量為單位時

這1代表的不再是一個無庸置疑的數量

例如1公分 你要如何定義這公分?

是的! 藉由測量

但這當中是絕對有誤差存在的

所以我們才要加上估計值 這1公分 往往會寫成 1.00公分

估計值 就是在假設這誤差為非常非常微小時 所以叫估計 因為不能確定

現在回到數學上

當我們定義數 如果常數c 屬於整數n 也就是說他只能是整數 那當然 c 不會出現

0.5, 1.2, 3.6 .....的數字

但如果c屬於任意數C 那麼 0.000000001, 0.999999999999, 2.0000000001等等的數就有可能為c 這時這就不再是單純的個數概念 單位不再是個體 而是量 一種抽象的量 也就是說 所有的值都是一種估計 所以我們為了把這抽象的實體化 我們允許了其中的誤差

至於0.999999999999999999.......的循環數等於1在數學上 不會是錯 但也不會是對

因為這當中始終是有誤差

如同0.0000000000000..............1我們會說他"等於"(事實上說趨近於比較好)零 但 他卻能擺在分母 因為他始終 "不等於"0

這當中是一種極限的概念 也就是說 一切都是估計 絕對會有誤差 但誤差很小 小到應該忽略與接受 也是從這極限的概念 我們才有微分跟積分

看起來很難的樣子...

感覺很不容易ˋˊ= =凸

[麥姬 10]

0.999999......=99 X 0.01010101...... = 99 X (1/100+1/10000+1/1000000+......)

= 99 X 1/100 X 1/ (1-1/100)

= 99/100 X 100/99

= 1

極限的概念吧!!!如果不能接受它的話><

以後微分一開始~可能會掛掉喔!!!一_一狠

必須接受這種無限接近~就會有極值的想法!!!(雖然我也不太會~我只是小高一):E

今天補習班有上到這題

我也有一樣的疑惑

所以

現在小高一的我們必須接受0.999999999.............=1囉

[九天驚虹 10]

首先 我們先不要管那些數學上的想法

我們單純的看 在生活中 我們如何定義1

當個體為單位時 我們說 1是代表這個體單位之數量 也無庸置疑

就像我們常說的 1支 1隻 1個 1位 1打 1尊....甚至1莫耳

但當我們以度或量為單位時

這1代表的不再是一個無庸置疑的數量

例如1公分 你要如何定義這公分?

是的! 藉由測量

但這當中是絕對有誤差存在的

所以我們才要加上估計值 這1公分 往往會寫成 1.00公分

估計值 就是在假設這誤差為非常非常微小時 所以叫估計 因為不能確定

現在回到數學上

當我們定義數 如果常數c 屬於整數n 也就是說他只能是整數 那當然 c 不會出現

0.5, 1.2, 3.6 .....的數字

但如果c屬於任意數C 那麼 0.000000001, 0.999999999999, 2.0000000001等等的數就有可能為c 這時這就不再是單純的個數概念 單位不再是個體 而是量 一種抽象的量 也就是說 所有的值都是一種估計 所以我們為了把這抽象的實體化 我們允許了其中的誤差

至於0.999999999999999999.......的循環數等於1在數學上 不會是錯 但也不會是對

因為這當中始終是有誤差

如同0.0000000000000..............1我們會說他"等於"(事實上說趨近於比較好)零 但 他卻能擺在分母 因為他始終 "不等於"0

這當中是一種極限的概念 也就是說 一切都是估計 絕對會有誤差 但誤差很小 小到應該忽略與接受 也是從這極限的概念 我們才有微分跟積分

不好意思

以上的觀念是有錯誤的

數學並沒有必要與現實生活或測量扯到一起 (By the way測量有誤差是必然的)

數學就是絕對精確的 不會有誤差

不會有什麼 很小很小 我們可以忽略 這都是錯誤的想法

列出目前看到的幾個錯誤

至於0.999999999999999999.......的循環數等於1在數學上 不會是錯 但也不會是對

因為這當中始終是有誤差

0.9循環 就是1 沒有誤差

如同0.0000000000000..............1我們會說他"等於"(事實上說趨近於比較好)零 但 他卻能擺在分母 因為他始終 "不等於"0

0.00000..........1 基本上不等於0 也不是所謂的趨近於零

關於0.9循環這東西 網路上有一些似乎而非的說法 很容易讓初學者誤導

歸根究底 還是不清楚 微積分或數學分析的內涵

這問題其實可以很簡單的回答

從定義

有興趣的人 請弄懂每一項名詞的定義 意義 例如極限 循環等等

再來看這個問題

如果最基礎的東西(定義) 都不曉得

那接下來的思考 其實就都沒什麼意義了

[我以詹老大為榮 10]

就是當N接近於無限時

後面的數字好像會變很多

當然啦

不=0

可是你可以用"無窮等比級數"去算看看

再式子裡面的(1/n)的n次方會=0(因為求了極限)

所以懶惰的數學家就發明的"limit"這個東西

如果數字太大

就近位

如果是太小就捨去

所以0.99999999.......................

就變成1

[f128128 10]

0.9+0.09+0.009...=1不能理解的話

那就可惜了

因為無限真的是好物!

例如下面這題

1+1/2+1/4+1/8...=?

想像兩塊派

第一次拿走一塊

再拿走一半(剩1/2塊)

再拿剩下的一半(剩1/4塊)

依此類推

永遠都會剩一半,也永遠拿不完

= =另一題是"阿基里斯與烏龜"(來自季諾的悖論)

講一個人與烏龜賽跑

當人跑到上一秒烏龜的位置

烏龜前進了1公分

當人再跑了1公分時

烏龜又前進了0.1公分

所以人永遠追不上烏龜~

沒有無限是很可怕的...

[聽說我叫便當 10]

設x=0.999....

10x=9.999...

10x-x=9

x=1

我覺得這個證法好酷@@

從來都沒想過可以這樣解釋