【數學】函數極值

[影鵠 10]

求函數:1+sinX / 2+cosX 之最大值

[Znoxwl 10]

sinX的X愈大，則sinX愈大，

cosX的X愈大，則cosX愈小，

因此取銳角三角函數x最大值90，

此函數極限值為1+1/2+0=1

吧

[九天驚虹 10]

一看到極值，就直接聯想到微分了。

所以一直想辦法要微分這個函數，只是我的基礎太薄弱，

不知道怎樣微分才是正確的。= =|||||||

不過，變換一下代數，就發現了，不需要微分，也可以做出來。

令k=x/2,則x=2k 式子就改成

1+sin(k)+cos(2k)

=1+sin(k)+2cos^2(k)-1

=sin(k)+2cos^2(k)

=sin(k)+2(1-sin^2(k))

=-2sin^2(k)+sin(k)+2

=-2(sin(k)-1/4)^2+18/7

所以當k=1/4時，函數有最大值17/8。

[九天驚虹 10]

最初由 Znoxwl 發表

sinX的X愈大，則sinX愈大，

cosX的X愈大，則cosX愈小，

因此取銳角三角函數x最大值90，

此函數極限值為1+1/2+0=1

吧

第一、二行能接受，

不過，第三行是如何推導到是90，

中間的想法呢？

順便一提

1+1/2+0=3/2

這邊大概是沒看清楚吧。

[小暐 10]

最初由 九天驚虹 發表

第一、二行能接受，

不過，第三行.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

其實

我有點不知道真正的題目為何...

1+sin(X / 2)+cosX

(1+sinX )/( 2+cosX )

1+(sinX) / 2 + cosX

以上三種好像都有可能是原題目

那到底是那一種>_<"?

[小暐 10]

最初由 影鵠 發表

求函數:1+sinX / 2+cosX 之最大值

請問X有範圍限制嗎?

[Znoxwl 10]

最初由 小暐 發表

其實

我有點不知道真正的題目為何...

1+sin(X / 2)+cosX

(1+sinX )/( 2+cosX ).............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

嗯....還是學長想到...= =

我還沒想到這個問題，直覺上就以第二種來做，

所以我的1+1/2+0其實是(1+1)/(2+0)...:p

[九天驚虹 10]

最初由 Znoxwl 發表

嗯....還是學長想到...= =

我還沒想.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

別忘了四則運算要先乘除後加減= =|||||||

(1+1)/2=1

但1+1/2=3/2

你的想法是，要最大值，

就分母愈小，分子愈大，

這樣值會越大，

只是為什麼要限制x範圍是0~90度？

題目沒說，x應該是介於0到360度不是。

[dodoku 12]

如果題目是(1+Sin[x])/(2+Cos[x])

微分法:

一次微分後

{Cos[x]*(2+Cos[x])+(Sin[x])(1+Sin[x])}/(2+Cos[x])^2

極值出現於一次微分=0 時 由於分母不可 也不可能為0

所以2Cos[x]+Cos[x]^2+Sin[x]+Sin[x]^2 = 0

2Cos[x] + Sin[x] = -1 ,又因為 Cos[x]^2 + Sin[x]^2 =1

令Cos[x] = t , Sin[x] = (1-t^2)^0.5 2t+1 = -(1-t^2)^0.5

4t^2 + 4t + 1 = 1 - t^2 , 5t^2 + 4t =0 , t=0 or t =-4/5

意即 Cos[x] = -4/5 Sin[x] = 3/5 or Cos[x] = 0 Sin[x] =-1

原式 (1 + 3/5 ) / (2 + (-4/5) ) = 4/3--->max

(1+-1)/(2+0) = 0 ---> min

[ckmarkhsu 7]

喝喝mathematic你很熟練啦:P

[dodoku 12]

解微積分 畫幾個圖ok

可是程式還不行~"~

還在模仿的階段... 可能沒有馬克徐大大的寫程式頭腦

[ckmarkhsu 7]

最初由 dodoku 發表

解微積分 畫幾個圖ok

可是程式還不行~"~

還在模仿的階段... 可能沒有馬克徐大大的寫程式頭腦

考完試再跟你學mathematic

話說他的程式寫法 我覺得跟C有點類似:P

[dodoku 12]

我覺得 把要寫的玩意 前後相扣蠻難的 ...

寫到後面會顧不到前面...

不過聯立說mathematica最強大的地方就是在於可以輕易連貫前後

亦可從程式碼過程看出解題思路 (或者是從解題思路下手來寫程式也可)

嗯...我會多練習的~

(站長與副站長居然公然離開話題:p)

[九天驚虹 10]

最初由 dodoku 發表

如果題目是(1+Sin[x])/(2+Cos[x])

微分法:

一次微分後

{Cos[x]*(2+Cos[x])+(Sin[x])(1+Sin[x])}/(2+Cos[x])^2

極值出現於一次微分=0 時 由於分母不可 也不可能為0

所以2Cos[x]+Cos[x]^2+Sin[x]+Sin.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

一開始微分後得到的那個式子，

還必須搭配上cos^2(x)+sin^2(x)=1才能解得。

雖然我自己微分的答案是對的，但始終沒想到要用到那個恆等式，又多學到一招了。

:E

不過副站長這邊的式子似乎是錯的

又因為 Cos[x]^2 + Sin[x]^2 =1

平方應該緊跟著cos跟sin後面吧？

而為什麼要使用中括號區分呢?

[影鵠 10]

其實題目是醬子拉~> (1+sinX) / ( 2+cosX) 之最大值

不過爬完所有文後~發現~果然很難懂~"~

[九天驚虹 10]

最初由 影鵠 發表

其實題目是醬子拉~> (1+sinX) / ( 2+cosX) 之最大值

不過爬完所有文後~發現~果然很難懂~"~

只要有關於函數極值的問題，基本上都可以利用微分處理。

微分就是求斜率嘛，通常最大值或最小值會發生在什麼地方呢？

那就是斜率等於零的情況下（也就該點的切線是條水平線）。

所以將題目的函數利用商法則微分，在令其等於零，會得到一個關係式（2cosx + sinx = -1）。

然後再利用三角恆等式cos^2(x)+sin^2(x)=1

兩個式子解聯立，於是乎，答案就出來了。:)

[dodoku 12]

最初由 九天驚虹 發表

[

不過副站長這邊的式子似乎是錯的

又因為 Cos[x]^2 + Sin[x]^2 =1

平方應該緊跟著cos跟sin後面吧？

而為什麼要使用中括號區分呢?

sorry忘記說明

在mathematica的語法中

Cos[x]^2 = 一般我們認知中 cos^2 x

[ ] 亦是mathematica 中之使用方法

下次我會注意到這點以防大家搞混

感謝:p

ps 在mathematica中的 ( ) [ ] { } 有各自不同使用範圍

跟在數學式中不太一樣的意思

[九天驚虹 10]

最初由 dodoku 發表

sorry忘記說明

在m.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

呵•• 原來如此:E

當初一看中括號，一度以為是高斯符號= =|||||||

[影鵠 10]

不用微分有辦法解嗎???

^^"

[dodoku 12]

有的...不過會有點令人眼花撩亂 不過可以肯定的是高中做法

先這麼想...在I象限中Sin >0 Cos > 0 II Sin > 0 Cos <0 III SIn , Cos <0 IV Sin < 0 Cos >0

要求的式子是...(1+Sin x)/(2+Cos x) 所以我們可以猜測 x的範圍非 I 即 II (0<x<pi)

因此 Sin必大於0 再度利用Sin^2 + Cos^2 =1 進行變數變換

Sin x = (1-t^2)^0.5 (因為知道必大於0) Cos x = t

f ( t ) : = (1+((1-t^2)^0.5))/(2+t) ,令其值= k , k 表一常數 我們用一個直線去跟他相切

當他有極值的時候 直線跟他只會有一個交點

拿出紙筆 將f( t )整理到等號的同一邊

可以得到 k^2(t+2)^2-2k(t+2) + t^2 =0

再次整理 可以得到 (k^2+1)t^2 + (4k^2-2k)t + (4k^2-4k)=0

如果k不是f ( t )的極值 那麼k應該會通過f( t )兩次 即有兩個 t 解

那麼 如果是極值呢 (亦即直線 y = k 和 f( t )相切) 沒錯 只會有一個 t 解

利用判別式 = 0 b^2-4ac =0 我們可以解得k = 4/3

請自己拿出紙筆演練一次

[weiye 10]

那我來點高中的做法好了：(藍色的部分就是三種題目)

第一種題目：

第二種題目：(其實跟 九天驚虹 的做法是一樣的啦~ :p )

第三種題目：

有寫錯的話記得提醒我一下，謝謝啦~ :p

[影鵠 10]

我還是有問題捏~~第三個箭頭後面的那個不等是怎麼來的阿???

[weiye 10]

利用三角函數的疊合

| a*sin(x)+b*cos(x) | = | 根號(a^2+b^2) * sin(x+t) | ≦ 根號(a^2+b^2)

其中的 t = arctan(b/a)

也就是跟 第三種題目 的 第二行 是一樣的東東。

^^~

[九天驚虹 10]

最初由 weiye13 發表

那我來點高中的做法好了：(藍色的部分就是三種題目)

第一種題目：

第二種題目：(其實跟 九天驚虹 的做法是一樣的啦~ :p )

http://myweb.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

第一種跟第三種的高中解法是這樣阿，我都不會。= =|||||||

就算現在在遇到這種題目，我還是不會用高中的解法吧。

深受微積分的毒了orz

第三種解法：

嘿嘿，函數都是加法，微分容易多了。

f'(x)=cosx/2 - sinx

極值會通常發生在導數(斜率)等於零的情況下，

所以令cosx/2 - sinx = 0 , cosx = 2sinx

再利用三角函數中最重要的不等式

cos^2(x)+sin^2(x)=1

就可以解出答案了。當然跟 weiye13 的答案相同。

最大值=1+ (5)^0.5 / 2 ； 最小值=1- (5)^0.5 / 2

光只有看書學微積分，缺少題目做練習，果然很容易卡住，

多虧了dodoku副站長的解法，讓我了解到解題的關鍵。:E

[影鵠 10]

終於懂啦~好辛苦......頭昏昏昏~"~!!!