【問題】有摩擦力的滑動問題

[香檳 10]

一個質量為m的物體從A處釋放,沿著球面滑下.

此球面的半徑為3公尺,

物體與球面的摩擦係數為0.2

請問當此物體到達B處時,

它的速度是多少?

我覺得這題因為有摩擦力的關係

損耗掉一部分能量

大概是沒辦法用力學能守恆的方式來解.

"A處就是θ=0處, B處就是θ=90度的地方"

[淡憂 10]

因為切線方向加速度跟磨擦力有關

摩擦力跟正向力有關

正向力又隨著速度變化

試著把速度寫成微分方程式來求解看看 ^^

[清純小百合 10]

一個質量為m的物體從A處釋放,沿著球面滑下.

此球面的半徑為3公尺,

物體與球面的摩擦係數為0.2

請問當此物體到達B處時,

它的速度是多少?

我覺得這題因為有摩擦力的關係

損耗掉一部分能量

大概是沒辦法用力學能守恆的方式來解.

"A處就是θ=0處, B處就是θ=90度的地方"

運用能量守衡跟功能原理應該可以解出答案

[林崧 10]

這個曲面可以分成因為重力可以產生摩擦力的有效的分量(和重力垂直)

以及一個因重力無法產生摩擦力的無效的分量(和重力水平)

(類似於我們求一個泡泡的內外壓的觀念)你應該就會做了。

所以

過程中重力作功：m*g*3

過程中摩擦力做功：-m*g*(0.2)*3

再用功能原理就可以算出答案了。

[九天驚虹 10]

觀察質量m的物體

可以知道

在運動過程中

受了重力 正向力以及摩擦力

由功能原理

外力對物體所作的功等於物體動能的變化

就能求出物體的速度

讓我們分開討論外力對物體作的功

(1) 重力

重力作正功 明顯的是 mg3

(2) 正向力

由於在運動的過程中 正向力一直與位移垂直 因此不作功

(3) 摩擦力

畫下物體的力圖 分析一下

可以知道 在物體位於θ處時 摩擦力的大小為0.2mgsinθ

於是在θ處所作的功：F‧s = 0.2mgsinθ * (Rdθ) = 0.6mgsinθdθ

將θ=0到θ=(π/2) 每一處所作的功累計起來

就是摩擦力作的功

W = ∫0.6mgsinθdθ = 0.6mg

所以摩擦力作負功0.6mg

由以上的分析

可以知道

外力對物體所作的功為 2.4mg

這些能量全都轉為物體的動能

速度也就能計算出來了

[九天驚虹 10]

另外

這種問題

可以思考的是 摩擦力作的功是否與路徑有關!

大部分的人都是由於不會計算摩擦力作的功而卡住

(1)

那麼 軌道如果改成斜面呢?

此時 斜面的角度為 π/4

摩擦力為 0.2mg(cosπ/4)

位移為 R/(cosπ/4)

摩擦力作功 0.2mgR = 0.6mg

(2)

接著 更極端一點 將軌道改成鉛直以及水平的兩段

那麼 摩擦力作的功 很明顯就只有在水平的那一段

而其值應為 F‧s = (0.2mg)*R = 0.6mg

只要稍微想過這兩種情況

大概就能猜測出

不管物體如何運行

摩擦力所作的功都是固定的

[淡憂 10]

觀察質量m的物體

可以知道

在運動過程中

受了重力 正向力以及摩擦力

由功能原理

外力對物體所作的功等於物體動能的變化

就能求出物體的速度

讓我們分開討論外力對物體作的功

(1) 重力

重力作正功 明顯的是 mg3

(2) 正向力

由於在運動的過程中 正向力一直與位移垂直 因此不作功

(3) 摩擦力

畫下物體的力圖 分析一下

可以知道 在物體位於θ處時 摩擦力的大小為0.2mgsinθ

於是在θ處所作的功：F‧s = 0.2mgsinθ * (Rdθ) = 0.6mgsinθdθ

將θ=0到θ=(π/2) 每一處所作的功累計起來

就是摩擦力作的功

W = ∫0.6mgsinθdθ = 0.6mg

所以摩擦力作負功0.6mg

由以上的分析

可以知道

外力對物體所作的功為 2.4mg

這些能量全都轉為物體的動能

速度也就能計算出來了

我算出來的答案跟你不同,

我算的答案是 v = 5.52 m/s

有沒有人有解出其他答案的?

[． 10]

the normal force N = mgsinθ + mRθ'^2

mR^2 θ'' = mgcosθ - μ( mgsinθ - mRθ'^2 )

接下來的計算，基本上就是化簡的問題，可以針對上面的equation做進似解(或者數值方法)

以上。

[清純小百合 10]

我算出來的答案跟你不同,

我算的答案是 v = 5.52 m/s

有沒有人有解出其他答案的?

可否列出您的計算過程?

[淡憂 10]

可否列出您的計算過程?

我把計算過程打在word裡面

再print screen, 貼在小畫家裡面, 用貼圖的方式貼給大家看

這樣比較容易閱讀

沒有學過微分方程式的版友可能看不懂我的過程

有一些微積分的書有教你怎麼解微分方程式

例如東華圖書公司出版的微積分(張天生譯)第十八章就有寫

這個章節並不困難, 只要有基本的微積分基礎就可以學了

[九天驚虹 10]

我算出來的答案跟你不同,

我算的答案是 v = 5.52 m/s

有沒有人有解出其他答案的?

忘了說明

那答案取了近似解

當速率不大的時候

v^2 / R 那一項可以忽略

也就是

the normal force N = mgsinθ - mRθ'^2

mR^2 θ'' = mgcosθ - μ( mgsinθ - mRθ'^2 )

接下來的計算，基本上就是化簡的問題，可以針對上面的equation做進似解(或者數值方法)

以上。

印象高中課本內

這樣的題目 會有說明

[清純小百合 10]

我把計算過程打在word裡面

再print screen, 貼在小畫家裡面, 用貼圖的方式貼給大家看

這樣比較容易閱讀

沒有學過微分方程式的版友可能看不懂我的過程

有一些微積分的書有教你怎麼解微分方程式

例如東華圖書公司出版的微積分(張天生譯)第十八章就有寫

這個章節並不困難, 只要有基本的微積分基礎就可以學了

題外話 我的微積分用書 就是這一本 哈哈

[rm2slg 10]

觀察質量m的物體

可以知道

在運動過程中

受了重力 正向力以及摩擦力

由功能原理

外力對物體所作的功等於物體動能的變化

就能求出物體的速度

讓我們分開討論外力對物體作的功

(1) 重力

重力作正功 明顯的是 mg3

(2) 正向力

由於在運動的過程中 正向力一直與位移垂直 因此不作功

(3) 摩擦力

畫下物體的力圖 分析一下

可以知道 在物體位於θ處時 摩擦力的大小為0.2mgsinθ

於是在θ處所作的功：F‧s = 0.2mgsinθ * (Rdθ) = 0.6mgsinθdθ

將θ=0到θ=(π/2) 每一處所作的功累計起來

就是摩擦力作的功

W = ∫0.6mgsinθdθ = 0.6mg

所以摩擦力作負功0.6mg

由以上的分析

可以知道

外力對物體所作的功為 2.4mg

這些能量全都轉為物體的動能

速度也就能計算出來了

有不同結果會不會是因為

摩擦力的正向力應該不是mgsinθ，而是mgsinθ+mv^2/r

[珊瑚海 10]

有不同結果會不會是因為

摩擦力的正向力應該不是mgsinθ，而是mgsinθ+mv^2/r

恩, 同意. 而且這題的v並不小

忽略這一項的話, 算出來的答案會差蠻多的

[cyp 10]

恩, 同意. 而且這題的v並不小

忽略這一項的話, 算出來的答案會差蠻多的

我比較過了，忽略的向心力的影響做功量約是0.6mg的0.77倍，所以這個尾巴可是跟身體差不多大，沒辦法忽略了！:s