林崧 10 發表於 February 16, 2007 檢舉 Share 發表於 February 16, 2007 之前在跟許多人討論到橢圓軌道解題步驟的問題，提出一個例子來供大家參考。橢圓軌道的總力學能可以用另一個圓形軌道的力學能來計算這樣計算上比較方便但是，看來大家似乎缺少這一部分的概念！我可以舉一個例題，大家可以提出自己的算法！ex:質量m的地球繞質量M的太陽旋轉，近日點、遠日點距各為r,R，重力常數為G，求1.系統的總力學能2.地球繞行的週期3.通過近日點時的地球運行速率以下是我的解法與說明也許你認為，只有圓形軌道的總力學能才是-GMm/2r其實，這個r，意義非凡，是指"平均半徑"。一般老師都不會解釋，自然的，人們也就沒有注意到這個更深入的涵義了！所謂平均半徑對於正圓來講，當然就是等於正圓半徑，但是對於橢圓來講，就是長軸長的一半{(長半徑+短半徑)/2}1.總力學能=-GMm/2(平均r)=-GMm/2((r+R)/2)=-GMm/(r+R)...#2.由克卜勒定律，T平方分之r三次方等於定值，求T=2*pie*{[(r+R)/2]^(3/2)/GM}^(1/2)...#3.通過近日點的動能為，總能-位能=-GMm/(r+R)+GMm/r 所以速率=[2GMR/(r+R)]^(1/2)...#理論：一個以橢圓軌道運動的行星，他運動的週期、總力學能都和另一個質量相等星球，以此橢圓的平均半徑為半徑的正圓一樣。 鏈接文章 分享到其他網站
磁單極 10 發表於 February 16, 2007 檢舉 Share 發表於 February 16, 2007 問題是我用橢圓來看近日點根遠日點的總能算出來不一樣耶假設近日點根遠日點的關係為 nr = R再利用RV = rv 得到nV = v又因為這兩點受力方向跟速度方向垂直所以v平方=GM/nr 跟 V平方=GM/r動能就是 GMm/2nr 跟 GMm/2r然後再跟未能相加就變成 -GMm/2nr 跟 -GMm/2r這樣兩個答案差n倍怎麼搞的啊 鏈接文章 分享到其他網站
磁單極 10 發表於 February 16, 2007 檢舉 Share 發表於 February 16, 2007 ..........理論：一個以橢圓軌道運動的行星，他運動的週期、總力學能都和另一個質量相等星球，以此橢圓的平均半徑為半徑的正圓一樣。這裡論我門老師沒敎耶到底是怎樣的情況啊而且既然是用平均半徑作計算那為什麼客普勒第三定律用的是半長軸呢 鏈接文章 分享到其他網站
林崧 10 發表於 February 17, 2007 作者 檢舉 Share 發表於 February 17, 2007 然後再跟未能相加就變成 -GMm/2nr 跟 -GMm/2r這樣兩個答案差n倍怎麼搞的啊那是因為當它繞到近日點的時候，它的曲率半徑不是r，所以要求那一點速率不能用F=m*(v^2/r)。這樣講應該可以了解吧！不然就畫個圖...以焦點為圓心半徑為r畫一個圓來比較...而且既然是用平均半徑作計算那為什麼客普勒第三定律用的是半長軸呢可能我上面沒講清楚，平均半徑=(長半徑+短半徑)/2這裡"長半徑""短半徑"不是長軸和短軸，是r和R。所以平均半徑就是半長軸長了(因為r+R=2a所以(r+R)/2 = a)。 鏈接文章 分享到其他網站
磁單極 10 發表於 February 17, 2007 檢舉 Share 發表於 February 17, 2007 但是如果直接算出近日點跟遠日點的動能和位能把他們相加結果也不會一樣阿或者說假設近日點跟遠日點的曲率半徑都為r而到太陽的距離為l和nl則速度為nv和v這樣帶進去的答案也不一樣 鏈接文章 分享到其他網站
林崧 10 發表於 February 18, 2007 作者 檢舉 Share 發表於 February 18, 2007 我把曲率半徑用a來算，長短半徑分別為r,R，近日點和遠日點總能算出來會不一樣，是因為你裡面有一個參數a(曲率半徑)但是理論上應該是要一樣的所以把兩式相等，就可以求出曲率半徑a=2rR/(r+R)也就是2nl^2/l(n+1)。(就像x+3=2x+1，則x=2。)我實際算過，把這個曲率半徑代到F=ma這個公式，算出來近日點和遠日點的v是正確的，也就是我們已成功的把曲率半徑算出來了！ 鏈接文章 分享到其他網站
磁單極 10 發表於 February 18, 2007 檢舉 Share 發表於 February 18, 2007 但是如果不用區率半徑直接用最原始m v^2/ 2的加GMm/ r 的結果會不一樣耶 鏈接文章 分享到其他網站
磁單極 10 發表於 February 19, 2007 檢舉 Share 發表於 February 19, 2007 我把曲率半徑用a來算，長短半徑分別為r,R，近日點和遠日點總能算出來會不一樣，是因為你裡面有一個參數a(曲率半徑)但是理論上應該是要一樣的所以把兩式相等，就可以求出曲率半徑a=2rR/(r+R)也就是2nl^2/l(n+1)。我實際算過，把這個曲率半徑代到F=ma這個公式，算出來近日點和遠日點的v是正確的，也就是我們已成功的把曲率半徑算出來了！那r+R/2又是怎麼來的呢依照你說的理論能量應該要等予以r+R/2為半徑的圓形軌道能量要怎樣證明 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 February 19, 2007 檢舉 Share 發表於 February 19, 2007 那r+R/2又是怎麼來的呢依照你說的理論能量應該要等予以r+R/2為半徑的圓形軌道能量要怎樣證明其實這我以前在論壇上證明過這種東西在學業討論區上應該還有這只是一種等效系統的概念 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 February 19, 2007 檢舉 Share 發表於 February 19, 2007 之前在跟許多人討論到橢圓軌道解題步驟的問題，提出一個例子來供大家參考。橢圓軌道的總力學能可以用另一個圓形軌道的力學能來計算這樣計算上比較方便但是，看來大家似乎缺少這一部分的概念！我可以舉一個例題，大家可以提出自己的算法！ex:質量m的地球繞質量M的太陽旋轉，近日點、遠日點距各為r,R，重力常數為G，求1.系統的總力學能2.地球繞行的週期3.通過近日點時的地球運行速率以下是我的解法與說明也許你認為，只有圓形軌道的總力學能才是-GMm/2r其實，這個r，意義非凡，是指"平均半徑"。一般老師都不會解釋，自然的，人們也就沒有注意到這個更深入的涵義了！所謂平均半徑對於正圓來講，當然就是等於正圓半徑，但是對於橢圓來講，就是長軸長的一半{(長半徑+短半徑)/2}1.總力學能=-GMm/2(平均r)=-GMm/2((r+R)/2)=-GMm/(r+R)...#2.由克卜勒定律，T平方分之r三次方等於定值，求T=2*pie*{[(r+R)/2]^(3/2)/GM}^(1/2)...#3.通過近日點的動能為，總能-位能=-GMm/(r+R)+GMm/r 所以速率=[2GMR/(r+R)]^(1/2)...#理論：一個以橢圓軌道運動的行星，他運動的週期、總力學能都和另一個質量相等星球，以此橢圓的平均半徑為半徑的正圓一樣。我想 還是回歸到原點在題目只有供給這樣的資訊時 如何求得系統的總力學首先力學能是 動能與位能的和而且我們知道 系統的力學能必須要守恆(將兩個行星視為一個系統後 就沒有外力了)我們有哪些條件可以利用呢?1. 力學能守恆2. 角動量守恆 (座標原點為太陽!)(或者是 你知道這是關於行星的問題 想到行星運動定律 並且利用其中的面積定律)所以 由能量守恆1/2mv^2 - GMm/r = 1/2mV^2 - GMm/R其中 v為在近日點的速度 V為在遠日點的速率又 根據角動量守恆RV = rv由這兩道式子 就能解出v或V 進而得到系統的總力學能最後就會發現系統的總力學能等於 「 -GMm/(r+R) 」接著 你可以把它當成一個公式來使用或者 更佳的方法是 把它拿來跟已知的系統作比較 也就是圓形的軌道看能不能找出什麼類似的東西稍加比較 你就會發現 在圓形軌道內的總能其中的半徑R 似乎對應到 此題的 (R+r)/2這正好是橢圓的半長軸 (在行星運動定律的敘述裡 又稱為平均軌道半徑)於是 這就可以讓我們定義一個等效系統讓我們類比 讓我們方便記憶!這不過就是告訴我們 我們可以不必從頭開始計算有一個「公式」可以直接計算橢圓軌道的總能而這公式還是遵守物理定律所導出來的又因為我們人類的聯想力讓我們把這計算橢圓軌道總能的公式與計算圓形軌道總能的公式(這公式仍然由物理定律所推導出來的)作比較找出了些相似的東西 讓我們容易理解記憶罷了 鏈接文章 分享到其他網站
cyp 10 發表於 February 20, 2007 檢舉 Share 發表於 February 20, 2007 「行星軌道平均半徑」的天文學歷史名稱現在仍流傳在教材裡，在數學中稱為「半長軸」(數學的歷史並不亞於天文學)，其實是比較適當的。橢圓之類的圓錐曲線早已在希臘時代就已經被研究，很多重要的幾何性質也都明白，對於「平均半徑」的這個名稱，我個人是有點感冒的，你們想一想，將最大值與最小值加起來除以2就是平均值嗎？中間值都不必管？一般所謂的平均，應該都是指算術平均數，各位試試看以算術平均數的定義方式來算橢圓的平均軌道是否會是半長軸呢？還有幾何平均、調和平均、方均根平均…你們想一想、算一算吧！雖然跟本篇的主要討論無甚關係，不過既然看完上述的篇幅，倒是可以進一步來回想平均軌道的意義！ 鏈接文章 分享到其他網站
風幽靈 10 發表於 February 20, 2007 檢舉 Share 發表於 February 20, 2007 平均軌道的意義？...樓主不是有說是因為計算方便而用嗎@@我認為的總力學能-GMm/2r只是一個數字，代表著那個物體的位能和動能=======================我的方法也不太一樣，我是全都用簡斜下去算，因為無意間想到kx=f和T=(k/g)^(1/2)這兩個東西在這種地方因為都是週期運動而保證適用，所以以後都愛把k算出來再代，只是這裡的k也沒意義=.= 鏈接文章 分享到其他網站
磁單極 10 發表於 February 21, 2007 檢舉 Share 發表於 February 21, 2007 1/2mv^2 - GMm/r =1/2mV^2 - GMm/R其中 v為在近日點的速度 V為在遠日點的速率RV = rv由這兩道式子 就能解出v或V 進而得到系統的總力學能最後就會發現系統的總力學能等於 「 -GMm/(r+R) 」接著 你可以把它當成一個公式來使用或者 更佳的方法是 把它拿來跟已知的系統作比較 也就是圓形的軌道看能不能找出什麼類似的東西稍加比較 你就會發現 在圓形軌道內的總能其中的半徑R 似乎對應到 此題的 (R+r)/2這正好是橢圓的半長軸 (在行星運動定律的敘述裡 又稱為平均軌道半徑)於是 這就可以讓我們定義一個等效系統讓我們類比 讓我們方便記憶!我只是單純的把R用nr代v用nV代之後一邊是1/2m(nV)^2 - GMm/r另一邊是 1/2mV^2 - GMm/nr這樣整理後兩邊很明顯不一樣啊請幫我看一下 鏈接文章 分享到其他網站
九天驚虹 10 發表於 February 21, 2007 檢舉 Share 發表於 February 21, 2007 我只是單純的把R用nr代v用nV代之後一邊是1/2m(nV)^2 - GMm/r另一邊是 1/2mV^2 - GMm/nr這樣整理後兩邊很明顯不一樣啊請幫我看一下其實你是分別算出 近日點的力學能 與 遠日點的力學能發現兩者的形式不同大致上的情形類似這樣你所得出的 近日點的力學能為 2x+9 遠日點力學能為5x然後 你說 2x+9 與 5x 明顯不一樣而你又懷疑 2x+9 與 5x 應該是要一樣的! (因為你知道力學能守恆)只要讓 實際上算出來的遠日點的力學能與近日點的力學能間 加上一個等號再去解方程式 就可以得到一些關係 類似上面例子裡的關係為 x = 3 鏈接文章 分享到其他網站
磁單極 10 發表於 February 22, 2007 檢舉 Share 發表於 February 22, 2007 我只是單純的把R用nr代v用nV代之後一邊是1/2m(nV)^2 - GMm/r另一邊是 1/2mV^2 - GMm/nr這樣整理後兩邊很明顯不一樣啊因為橢圓我直接假設n>1(不可以等於1喔)然後兩式整理後得到:m[(nV)^2-2GM/2r]和m[n(V^2)-2GM/2nr]然後兩式相等化簡後得到n^2+n-2GM/v^2r =0因為GM/v^2r恆大於零所以判別式大於零 n就應該要有實數解意思就是說在能量守衡狀況下橢圓是成立的哪有沒有方法直接用橢圓情況證明能量守恆呢 鏈接文章 分享到其他網站
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