【問題】數學推理

[KID1412 10]

如果不幸又和之前的版有重複，請各位包涵

問題如下:

老師將ㄧ個二位正整數n的兩位數字總和p告訴學生甲，而將這各正整數n的正因數個數q告訴學生乙，而甲乙兩位學生展開如下對話:

甲:我不知道n為多少

乙:我也不知道，但我知道n為奇數或偶數

甲:現在我知道n為多少了

乙:現在我也知道了

假設甲乙兩位學生都是非常誠實且聰明的。

那麼請問你知道n為多少嗎?

[逆風翱翔 10]

聽不懂= ="

[蟋蟀水星玉蝴蝶 10]

經過長久的計算...........

是80嗎= =

[KID1412 10]

sorry 是30數學版有詳解

[neil77128 10]

乙會知道是奇數或偶數，有兩種可能：

(i) 若q = 2，則n為奇數

(ii) 若q > 6，則n為偶數

若n為奇數，由於甲可以藉由乙的回應

乙可以推得甲可能得到11、89等至少兩組解

但乙至此卻不能明確得知n

故n不為奇數

設n為偶數，且n有大於六個正因數

定義數列k=10a+b，a+b=p

甲由於不知道乙所知道的究竟是奇是偶

故k數列之中，不能有質數

（若有質數，甲不知道該選什麼

因為乙說知道基偶

可能會是(i)(ii)兩種情況

現實生活中的我們 可推得(i) 不正確

但是對話到一半的甲，不行推得）

例如 當p=8，

數列k=17，26，35，44，53，62，71，80

17、53、71是質數

故k數列僅可能為

k1=12，21，30

k2=18，27，36，...，81，90

又k2中，36、54、72、90皆有超過六個正因數

但題目說甲可以得知 n 為何，故n必屬於k1

其中只有30（1、2、3、5、6、10、15、30）符合條件

故得為一解。

(感謝蕃茄聯手)

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