關於Chebyshev polynomial的一個習題

[hank855566 10]

由Chebyshev polynomial的一些性質不難證明出來

一個領導係數為1的n次多項式在[a,b]之振幅的最小值為2*[(b-a)/4]^n

此時該多項式為2*[(b-a)/4]^n Tn((2x-a-b)/(b-a))

我們的教授出了個習題如下

令A1 A2 A3 ......An 是平面上任一n個點, 證明: 平面上任一長度為 l 的線段上一定存在一個點M使得

MA1*MA2*MA3*......*MAn >= 2*(l/4)^n

以及

在平面上給定一條長度為 l 的線段 該如何選取A1 A2 ...... An n個點

使得線段上不存在點M使得

MA1*MA2*MA3*......*MAn > 2*(l/4)^n