台大資工系筆試題目

[1230041 10]

已知x,y,z≧0若X² +y² +z² =1

令S=x/(1+yz) + y/(1+xz) + z/(1+xy)

求S的最大值=?

徵高手解這題!!!

我嘗試用科西，但不會解

答案我不知道=口=

因為給我題目的人也不會解= =

此內容已被編輯, March 17, 2013 ,由 如夢幻夜™
連續發文

[瞇鴨呱呱 10]

是四根號三分之三嗎?

[1230041 10]

給我題目的人說答案應為√2，但他還不會列式

想請問大大你是如何算的?

講一下算式~謝謝

[瞇鴨呱呱 10]

我用湊的不算數

[1230041 10]

這題不是隨便帶數字就可解的= =

[瞇鴨呱呱 10]

我錯了(跪

[嘟嘟喝冰鎮 10]

我感覺x,y,z應該有一個要是0

所以假設z=0

=>S=x+y

by 柯西不等式

=>(x^2+y^2)(1^2+1^2)大於等於(x+y)^2

=>2大於等於(x+y)^2

=>Smax=√2在(x=y)時成立

==============================

至於是否真的有一個為零我不確定

我是猜的抱歉ˊˋ

[1230041 10]

謝謝您的回覆，但還是不太認可ˊˋ

[howt 10]

不妨令x≦y≦z

那麼S≦(x+y+z)/(1+xy)

現只須證 (x+y+z)/(1+xy)≦√2

<=> (x+y+z)^2/(1+xy)^2≦2

<=> (1+2xy+2yz+2xz)/(1+2xy+x^2y^2)≦2

<=> 0≦1+2xy-2yz-2xz+2x^2y^2 (接著把1換成x^2+y^2+z^2)

<=> 0≦ (x+y-z)^2 + 2x^2y^2 ，證畢

等號成立於 xy=0、x+y-z=0

y=0時由初始假設x≦y≦z得x=y=z=0不合

x=0時得y=z=√0.5

此內容已被編輯, March 12, 2013 ,由 howt

[1230041 10]

謝謝你的回覆

但有幾點我能不明白，想請教一下第一步是如何想出來的?? ( 令x≦y≦z)

接著第二部是如何成立?? (x+y+z)/(1+xy)≦√2

最後一步是? 等號成立於 xy=0、x+y-z=0

[howt 10]

1.原本的函數是對稱式，所以只要假設x≦y≦z即可

2.連續可微函數的最大最小值產生在邊界或極值點，

因此先考慮幾個特殊點代值：(0,0,1)、(0,√0.5 ,√0.5 )、( √(1/3),√(1/3),√(1/3) )

比較後可以"猜測" (0,√0.5 ,√0.5 ) 時S有最大值√2 (填充題至此結束)

3.接著要證明 S≦√2，先把S轉化一下得S≦(x+y+z)/(1+xy)

也就是如果(x+y+z)/(1+xy)≦√2 我們就證明完畢。

我們先假設(x+y+z)/(1+xy)≦√2 是對的，然後逆推，最後得到

0≦ (x+y-z)^2 + 2x^2y^2

上式是兩個平方數的和，因此恆成立，於是(x+y+z)/(1+xy)≦√2 就是對的。

而等號成立時，也就是(x+y+z)/(1+xy)=√2時，此時(x+y-z)^2 + 2x^2y^2 =0

因此x+y-z=0、xy=0，而此時S也剛好=(x+y+z)/(1+xy)。

因此S≦√2，等號成立(最大值確實發生在) 於(0,√0.5 ,√0.5 ) 或其輪換點

[1230041 10]

謝謝你的解答，我現在能接受你的想法

想請教一下，這題一開始的答案是要先"猜"才能證明嗎?

可否用其他方法找尋最大值?

猜時為何極值都出現在特殊點??這有什麼特別關係嗎?