【數學】關於內積和外積的定義

[極‧KID 11]

高中好像只有教內積和外積的使用

而沒有詳細說明此兩數學計算方法的定義和證明

請問誰能夠幫我解答一下呢?

(有查過資料不過看不懂= ='')

[小李帥哥 10]

內積是一個純量

最重要的原則就是"同方向"

物理學上最顯見的就是"作功" = 同方向的施力 * 同方向的位移

內積

= (向量A在向量B方向的投影量) *(向量B的大小)

= (向量B在向量A方向的投影量) *(向量A的大小)

= |向量A| * |向量B| *cosθ

(1)因為(向量A在向量B的投影量) = =|向量A| *cosθ ,故內積為(向量A在向量B的投影量) *(向量B的大小)

=|向量A| *|向量B| *cosθ

(2)又(向量B在向量A的投影量) = |向量B| *cosθ ,故內積為(向量B在向量A的投影量) *(向量A的大小)

=|向量B| *cosθ *|向量A|

看圖會比較清楚:

藍色箭頭為A向量 , 紅色箭頭為B向量

其長度就分別為|向量A|與|向量B|

下圖為(向量B在向量A方向的投影量) *(向量A的大小)的例圖

其中紅色粗線條的為(向量B在向量A方向的投影量)

則A與B的內積為 |向量A| * |向量B| *cosθ

以物理來說,可以假設 :

(1)向量A與B交點有一物體

(2)向量B為一施力(表明方向),故|向量B|表施力大小 , |向量A|表位移,

又"與位移同方向"的施力才會作功

故與位移同方向的施力大小即為|向量B| *cosθ

根據作功的定義,作功= |向量A| * |向量B| *cosθ=向量A與向量B的內積

這樣講希望對你有幫助,我花那麼多時間打這些字才沒白費呀:E

[小李帥哥 10]

外積

如圖

設向量A為位移,向量B為施力

故|向量B|表施力大小

則此2向量會造成力矩(假設為向量C=A*B)

其大小: |向量A|*|向量B|*sinθ(以物理"力矩"=力*力臂 )

且向量C會垂直向量A與B

並與2向量形成右手系

此就為外積的定義

[磁單極 10]

請問

內積的那張圖的矩形代表什麼意思

[小李帥哥 10]

最初由 磁單極 發表

請問

內積的那張圖的矩形代表什麼意思

是指哪一個呢?

因為長方形與正方形應該都是算矩形吧..

如果是指橙色部份

其面積

正好為向量A與向量B的內積

當夾角小於90度時

如圖中的橙色部份會落在該正方形(|向量A|*|向量A|)內

為其中的一部分

因為矩形面積必大於0

故橙色面積(內積)也會大於0

當夾角等於90度時

正方形內的橙色部份是不會出現的

故內積為0

當夾角大於90度

橙色部份完全落在正方形之左,表示其投影與向量A反向,故投影量=|向量B| *cosθ<0故內積為負的

(應該是這樣吧..我也不是很確定= =|||||||,我也是第一次看到

其實那張圖不是我自己畫的,

是從:http://www.ies.co.jp/LoveMath/2nd_grade/naiseki_n-j/naiseki_n1.html轉貼的 )

[極‧KID 11]

呃 我等指考完再好好研究好了@@

現在還是先把心放在指考上...

謝謝提供資料囉