【問題】二項式 一題課本的....

[ATROKOF 10]

{X+1}^n之展開式中，依X降幕排列之第5•第六•第七項係數成等差數列，求n?.....3Q {忽然忘記如何算= = ||

[weiye 10]

最初由 ATROKOF 發表

{X+1}^n之展開式中，依X降幕排列之第5•第六•第七項係數成等差數列，求n?.....3Q {忽然忘記如何算= = ||

(x+1)^n 之展開式中，依 x 降幕排列之第五項•第六項•第七項係數分別為 C(n,4), C(n,5), C(n,6)

因為 C(n,4), C(n,5), C(n,6) 成等差數列

所以 2*C(n,5) = C(n,4)+C(n,6)

＝＞ 2*n!/(5!*(n-5)!) = n!/(4!*(n-4)!)+n!/(6!*(n-6)!)

左右同乘上 6!*(n-4)!/n! 可得

2*6*(n-4) = 6*5 + (n-4)*(n-5)

展開解 n 的一元二次方程式就可以求得 n=7 或 14。

[ATROKOF 10]

謝囉~...在補充問一題n大於3的正整數，式求下列級數中X^3的係數

{X+1}+{X+1}^2......{X+1}^n

[ATROKOF 10]

幫忙解決一下吧....臨時抱佛腳一下..

[蘿蔔絲 10]

最初由 ATROKOF 發表

謝囉~...在補充問一題n大於3的正整數，式求下列級數中X^3的係數

{X+1}+{X+1}^2......{X+1}^n

恩恩...我對數學有一點點遺忘了

不知道這樣是不是對哦

在(X+1)^k (k>=3)的情況下

只要從中選三個括號取出X，其他括號取出常數項來相乘

就可以得到一個X^3

又常數項都是1，無論乘幾個1都不會變

所以只要算組合數就可以了

C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+.......+C(n,3)

(這個好像有速算法，我忘記了)

[ATROKOF 10]

最初由 KilleR•鷹 發表

恩恩...我對數學有一點點遺忘了

不知道這樣是不是對哦

在(X+1).............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

感覺好像不對.....{上課時都精簡老師的筆記，導致我不會算...

[stu310624 10]

{X+1}^2

是指(x+1)的平方嗎

如果是的話

其實那是一個等比級數

公比是(x+1)

代入等比公式......

[heineken 11]

最初由 ATROKOF 發表

謝囉~...在補充問一題n大於3的正整數，式求下列級數中X^3的係數

{X+1}+{X+1}^2......{X+1}^n

先算這等比級數的和 r=(x+1)

得(x+1)^n+1 x

然後求(x+1)^n+1的x^4係數

C(n+1,4)

感覺有點怪怪的XDDD

有錯請改正.....

[ATROKOF 10]

最初由 猜心 發表

先算這等比級數的和 r=(x+1)

得(x+1)^n+1 x

然後求(x+1)^.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

跟我的筆記大致相同，不過能解釋清楚一些嗎....

[heineken 11]

就是呀...

有個等比級數和的公式 >> 首項*{ R的n次方 - 1} 　R - 1 (n代表多項式的項數,R代表公比)

{X+1}+{X+1}^2......{X+1}^n

此式的首項為 (x+1) , 公比r也為(x+1) , 項數從1次方到n次方,所以是n項

代入上面的公式

得

(x+1) {(x+1)^n - 1} (x+1) - 1

>>> (x+1)^n+1 - (x+1) x

>>> 分子中的 -(x+1) 並無關 x^3的係數

因此,只考慮 (x+1)^n+1 x 中的x^3係數

因為分母是x,就是說分子除了個x,

那麼分子的x^4係數,除了x之後,才會符合題目得到x^3的係數

>>> 求(x+1)^n+1 中的x^4係數

>>> 換成二項式的公式

>>>C (n+1,4)

不確定是不是這樣....有錯請多多包含...

[weiye 10]

最初由 KilleR•鷹 發表

恩恩...我對數學有一點點遺忘了

不知道這樣是不是對哦

在(X+1)^k (k>=3)的情況下

只要從中選三個括號取出X，其他括號取出常數項來相乘

就可以得到一個X^3

又常數項都是1，無論乘幾個1都不會變

所以只要算組合數就可以了

C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+.......+C(n,3)

(這個好像有速算法，我忘記了)

C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+.......+C(n,3)

= C(4,4)+C(4,3)+C(5,3)+.......+C(n,3)　　　( 這是因為 C(3,3)=C(4,4)=1 )

嗯嗯，然後利用巴斯卡定理 C(m-1,n) + C(m-1,n-1) = C(m,n) 由前面開始可以每兩項合併，並且一直兩兩合併到最後一項，

C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+.......+C(n,3)

= C(4,4)+C(4,3) +C(5,3)+.......+C(n,3)

= 　C(5,4)　 　+C(5,3)+.......+C(n,3)

= (...一直合併到最後一項...)

= C(n+1,4)

當然結果跟利用等比級數和公式的方法，求出來的結果也一樣是 C(n+1,4) 。

[ATROKOF 10]

最初由 weiye 發表

最初由 KilleR•鷹 發表

恩恩...我對數學有一點點遺忘了

不知道這樣是不是對哦

在(X+1)^k (k>=3)的情況下

只要從中選三個括號取出X，其他括號取出常數項來相乘

就可以得到一個X^3

又常數項都.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

不愧是一中學生阿~++~