rufur 10 發表於 December 13, 2011 檢舉 Share 發表於 December 13, 2011 這是當年多選題第7題其中一個選項我直接改成這個題目:已知方程式x^3-2x^2+x-1=0只有唯一實根,試問此根是否為有理數(正確答案為否)想請問兩個觀念...1.當時我解的時候,是利用我們老師教過的"有理係數多項式,無理根必成對(ex:√5.-√5)"若用此觀念,則本題方程式(是有理係數方程式)的實根若為無理根就應該要成對. 但題目又說只有一個實根,我據此判斷此根為有理數,結果就解錯了.想請問我們老師教的這個觀念不對嗎?如果對的話是否我的推論哪裡有瑕疵2.正解是使用牛頓(有理根檢定)定理,將1.-1代入均不合,得此實根不為有理根想請問若使用這個方法,將所有有可能的有理根代入皆不合,就表示根一定為無理數或虛數嗎?感謝囉. 鏈接文章 分享到其他網站
曾阿牛 10 發表於 December 13, 2011 檢舉 Share 發表於 December 13, 2011 三次多項式的話 有以下的反例我本來還想重新建構四次的反例 但後來想到 把三次乘上一次就變成四次 即五次以上的反例依此類造有理係數多項式 無理根必成對 這句話只有在多項式的 degree 為 2 時才對 也就是說 只有二次多項式才成立 ( 理由在此省略 )關於樓主 rufur 的第二個問題 我是覺得很納悶牛頓一次因式檢驗法 就是一種檢查是否存在有理根的方法為什麼樓主使用了牛頓一次因式檢驗法之後 還在懷疑這樣是否已做完??? 鏈接文章 分享到其他網站
冰凍仙草 10 發表於 December 13, 2011 檢舉 Share 發表於 December 13, 2011 有理係數多項式的無理根會成對在沒有虛根的條件下就能成立因為虛根的因式相乘後是可以有無理係數的 鏈接文章 分享到其他網站
曾阿牛 10 發表於 December 14, 2011 檢舉 Share 發表於 December 14, 2011 原來 有理係數多項式 無理根成對 是有條件的用 google 搜尋了一下 發現有些人將教材放在網路上 但都忽略沒有虛根這條件不知 冰凍仙草 能否告知完善描述無理根成對的訊息可以在哪裡找到? 感謝 鏈接文章 分享到其他網站
冰凍仙草 10 發表於 December 14, 2011 檢舉 Share 發表於 December 14, 2011 恩....後來仔細想想,這個問題似乎沒有那麼簡單上面的結論只是我猜的XD只說明了在有虛根的情況下這個定理不成立(你舉出的反例)沒有虛根時定理會不會成立還有待證明QQ 鏈接文章 分享到其他網站
曾阿牛 10 發表於 December 14, 2011 檢舉 Share 發表於 December 14, 2011 真的仔細想無理根成對的證明時 我察覺到 必須先清楚什麼叫做無理根成對在我查到的教材裡 有這樣的一個敘述:設 f(x) 為有理係數多項式 a, b 為有理數,且 √b 為無理數若 x = a + √b 為 f(x) = 0 之一根,則 x = a - √b亦為其根。之所以不加上 沒有虛根 這條件 也是因為不用加因為它所謂的無理根是指 形如 a + √b 的無理根 ( 其中 a 和 b 為有理數 )而它的證明類似虛根成對的證明 ( 但不是使用共軛複數的方法 是用除法原理的方法)我的反例之所以成為反例 那是因為我舉的無理數並非形如 a + √b 這樣的二次根號 而是三次根號 鏈接文章 分享到其他網站
rufur 10 發表於 December 22, 2011 作者 檢舉 Share 發表於 December 22, 2011 原來無理根成對是特別指型如"a + √b "所以我們老師教的不完整...感謝兩位學長. 鏈接文章 分享到其他網站
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