想問多項式兩個觀念問題(98年數學學測)

[rufur 10]

這是當年多選題第7題其中一個選項

我直接改成這個題目:

已知方程式x^3-2x^2+x-1=0只有唯一實根,試問此根是否為有理數

(正確答案為否)

想請問兩個觀念...

1.當時我解的時候,是利用我們老師教過的"有理係數多項式,無理根必成對(ex:√5.-√5)"

若用此觀念,則本題方程式(是有理係數方程式)的實根若為無理根就應該要成對.

但題目又說只有一個實根,我據此判斷此根為有理數,結果就解錯了.

想請問我們老師教的這個觀念不對嗎?如果對的話是否我的推論哪裡有瑕疵

2.正解是使用牛頓(有理根檢定)定理,將1.-1代入均不合,得此實根不為有理根

想請問若使用這個方法,將所有有可能的有理根代入皆不合,就表示根一定為無理數或虛數嗎?

感謝囉.

[曾阿牛 10]

三次多項式的話　有以下的反例

我本來還想重新建構四次的反例　但後來想到　把三次乘上一次就變成四次　即

五次以上的反例依此類造

有理係數多項式　無理根必成對　這句話只有在多項式的 degree 為 2 時才對　也就是說　只有二次多項式才成立 ( 理由在此省略 )

關於樓主 rufur 的第二個問題　我是覺得很納悶

牛頓一次因式檢驗法　就是一種檢查是否存在有理根的方法

為什麼樓主使用了牛頓一次因式檢驗法之後　還在懷疑這樣是否已做完???

[冰凍仙草 10]

有理係數多項式的無理根會成對

在沒有虛根的條件下就能成立

因為虛根的因式相乘後是可以有無理係數的

[曾阿牛 10]

原來　有理係數多項式　無理根成對　是有條件的

用 google 搜尋了一下　發現有些人將教材放在網路上　但都忽略沒有虛根這條件

不知 冰凍仙草 能否告知完善描述無理根成對的訊息可以在哪裡找到？　感謝

[冰凍仙草 10]

恩....

後來仔細想想，這個問題似乎沒有那麼簡單

上面的結論只是我猜的XD

只說明了在有虛根的情況下這個定理不成立(你舉出的反例)

沒有虛根時定理會不會成立還有待證明QQ

[曾阿牛 10]

真的仔細想無理根成對的證明時　我察覺到　必須先清楚什麼叫做無理根成對

在我查到的教材裡　有這樣的一個敘述：

設 f(x) 為有理係數多項式　a, b 為有理數，且 √b 為無理數

若 x ＝ a ＋ √b 為 f(x) ＝ 0 之一根，則 x ＝ a － √b亦為其根。

之所以不加上 沒有虛根 這條件　也是因為不用加

因為它所謂的無理根是指　形如 a ＋ √b 的無理根 ( 其中 a 和 b 為有理數 )

而它的證明類似虛根成對的證明 ( 但不是使用共軛複數的方法　是用除法原理的方法)

我的反例之所以成為反例　那是因為我舉的無理數並非形如 a ＋ √b 這樣的二次根號　而是三次根號

[rufur 10]

原來無理根成對是特別指型如"a ＋ √b "

所以我們老師教的不完整...

感謝兩位學長.