西格瑪

♀小小ㄨ♂ · May 22, 2010

如圖...

曾阿牛 · May 22, 2010

第五題　從答案看來　k 的確從1開始

但是式子最左邊的 sigma 裡的 k 若從1開始的話那就好笑了　因為會產生分母等於0

很明顯　這等式最左邊的分母應該是 $gif.latex?\displaystyle\sqrt{k^2-k}$

一到四題　除了第二題外　我都解出來了

只有第二題　苦思不得其解　後來便懷疑題目有錯　

於是我用 Excell 去計算　以精確到小數第15位來說　將前 78 項加起來就超過 π/4 了

這表示題目一定哪裡有錯　　只是我這次無法更正它的錯誤

關於使用 Excell 去驗證題目　其數據如下：

　　π/4 ＝ 0.785398163397448....

前 78 項＝ 0.785489728706982.....　　在小數第4位開始追過 π/4

即使 Excell 計算的有誤差　但應該不會超過 0.00000000001 　

此內容已被編輯, May 22, 2010 ,由曾阿牛

♀小小ㄨ♂ · May 22, 2010

這本書可以燒掉了...(我的天阿...)

不知道方不方便把方法提供一下

(如果做得出來的話....)

草語 · May 22, 2010

根號K平減K K=1帶入分母不會為0嗎? #2

曾阿牛 · May 23, 2010

Re #4 神之火　　謝謝提醒　當時我分心了　應該是 $gif.latex?\displaystyle\sqrt{k^2+k}$

Re #3 小惡魔≠小天使　這幾題似乎是越後面越簡單　所以先從第四題開始解

第四題　　先做點觀察

$gif.latex?\displaystyle\sum_{n=1}^4\Big(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\Big)\\=\Big(\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{1}\Big)\\+\Big(\sqrt{4}-2\sqrt{3}+\sqrt{2}\Big)\\+\Big(\sqrt{5}-2\sqrt{4}+\sqrt{3}\Big)\\+\Big(\sqrt{6}-2\sqrt{5}+\sqrt{4}\Big)=\sqrt{6}-\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{1}.$ 　藉此可得知一般的情形

$gif.latex?\displaystyle\sum_{n=1}^m\Big(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\Big)=\sqrt{m+2}-\sqrt{m+1}-\sqrt{2}+\sqrt{1}.$ 　所以

$gif.latex?\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\Big(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\Big)\\=\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^m\Big(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\Big)\\=\lim_{m\rightarrow\infty}\Big(\sqrt{m+2}-\sqrt{m+1}-\sqrt{2}+\sqrt{1}\Big)=1-\sqrt{2}$ 　因為　 $gif.latex?\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty}\Big(\sqrt{m+2}-\sqrt{m+1}\Big)=0.$

第三題　　先利用 natural logaritm 的性質將題目改頭換面：

$gif.latex?\displaystyle\ln\Big(1-\frac{1}{n^2}\Big)=\ln\Big(\frac{n^2-1}{n^2}\Big)=\ln\Big(\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}\Big)\\\\=\ln(n-1)+\ln(n+1)-2\ln n$

所以　　 $gif.latex?\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\Big(1-\frac{1}{n^2}\Big)=\sum_{n=1}^\infty\bigg(\ln(n+1)-2\ln(n)+\ln(n-1)\bigg)$

至此　我們發現　問題變得跟第四題很像　　所以接下來的做法雷同　不贅述

第一題　　這題要用到 natural exponential 的 Taylor series ( 或 Maclaurin series )

$gif.latex?\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$

接下來是想辦法將題目的樣子給湊出來：

移項　 $gif.latex?\displaystyle e^x-1-x-\frac{x^2}{2!}=\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$

等式兩邊都除以 x　 $gif.latex?\displaystyle \frac{e^x-1}{x}-1-\frac{x}{2!}=\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+\frac{x^4}{5!}+\cdots$

等式兩邊微分　 $4}+\cdots$

若將 1 代入 x 得　　

$(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!(n+2)}$

May 23, 2010

第一題其實上下同乘(n+1)後再分解就可以了

Sigma 1/n!(n+2) = Sigma (n+1)/(n+2)! = Sigma (n+2)/(n+2)! - 1/(n+2)!

= Sigma 1/(n+1)! - 1/(n+2)! = 1/2! - 1/3! + 1/3! - 1/4! + 1/4! - 1/5! + ...

=1/2

寫法沒有很嚴謹 ><

heinsolid · May 23, 2010

第二題我用複變去算是

-1 + A tanh B ~ 0.798147,

with

A = pi / sqrt(3),

B = sqrt(3) * pi / 2

註：tanh x = (e^2x - 1) / (e^2x + 1)

有興趣的話我晚點再整理一下複變的算法是怎麼回事，有空的版友可以跑一下數值解幫驗證。

至於那本書，我覺得他可能自己加個幾項覺得差不多就出題了。

此內容已被編輯, May 23, 2010 ,由 heinsolid

♀小小ㄨ♂ · May 23, 2010

關於第一題...yi416更顯得簡單明瞭

第二題...我可以判斷該級數是收斂的

但收斂是多少我不清楚ˊˋ

關於第四題

牛哥的解法...我覺得這種解法雖可以接受

但是總覺得有點冒險

且要怎麼判斷m是要代入哪裡呢!?

關於第三題...

牛哥說延用第四題的解法...

但我也置換成牛哥的式子後...

把n=1~4帶入

得 ln5-2ln2+4ln3+ln0

問題1.....ln0要怎麼處理

問題2.....我要怎麼令該式子為一般式子?

(有點抓不到頭緒牛哥是怎麼把第四題令成一般式子)

關於第五題

如同牛哥應該又是書本印錯(根本算不一樣阿= =)

分母置換成根號k平方加k即可

謝謝大家正視我的問題

感恩~

曾阿牛 · May 23, 2010

Re #6 yi416　真是好方法　感謝您的分享　

看到這類的題型　我被訓練貫了要用 Taylor series 來解題　反而無法靈活解題　　在下受教了

Re #7 heinsolid　複變啊...　我以前複變是混過的:p　　所以幫不上忙　　期待您做更詳細的解釋

Re #8 小惡魔≠小天使　當初在解第三題時就有注意到 Sigma 要從 n=2 開始　

這是題目的疏失　因為 ln 的定義域是正實數集　所以沒有 ln 0 這種東西

只是後來就開始解第二題和第一題　其中為了解第二題花了不少時間　這第三題的題目疏失就忘了提出來

關於第四題　一開始　我做了一個觀察：Sigma n 從1到4

我還特地用四行把式子寫完　為的是方便比照

譬如說　－2√3 的左上方和右下方各有一個√3　所以這三個項就消掉了

同理　－2√4 的左上方和右下方各有一個√4　所以這三個項也消掉了

數學呢　有時也是需要做實驗的　觀察之後　得到結論

如果大大覺得還不夠得出結論的話　您自己可以多做幾個實驗多試幾個例子

May 23, 2010

第二題用Mathematica跑出來是:

-(i*(PolyGamma[0, 1 + (-1)^(1/3)] - PolyGamma[0, 1 - (-1)^(2/3)])/Sqrt[3]

PloyGamma是高等函數嗎? @口@

♀小小ㄨ♂ · May 24, 2010

慢慢摸索終於懂了

牛哥真是太神了!!!

看來這幾題只剩第二題有點問題其他的都處理完畢^^

感謝牛哥

牛哥萬歲

此內容已被編輯, May 24, 2010 ,由 ♀小小ㄨ♂

heinsolid · May 24, 2010

我估計第二題實際上超出你的課程範圍。

howt · May 25, 2010

第二題我用複變去算是
-1 + A tanh B ~ 0.798147,
with
A = pi / sqrt(3),
B = sqrt(3) * pi / 2
註：tanh x = (e^2x - 1) / (e^2x + 1)
有興趣的話我晚點再整理一下複變的算法是怎麼回事，有空的版友可以跑一下數值解幫驗證。
至於那本書，我覺得他可能自己加個幾項覺得差不多就出題了。

複變方法是指res{(πcotπz)/(z^2+z+1)；z=w,w^2} 嗎？w、w^2是1+z+z^2=0的根。

一般化一下可以得到：

令k^2+ck+d之根為a+bi、a-bi，c、d是實數

( 限定b>0，b=0是很常見的問題，同時也不適用於此結果)

那麼∑ (k=1~∞) 1/(k^2+ck+d) =

(1/2)*(π/b)*{1/ [(tanhπb)(cosπa)^2 + (cothπb)(sinπa)^2] } - (1/d)

至於數值的計算，可以參考這個網頁：

http://www05.wolframalpha.com/input/?i=sigma++1%2F%281%2Bk%2Bk%5E2%29++%28+from+1+to+infinite%29

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