四題偏微證明

♀小小ㄨ♂ · May 11, 2010

明明這部分的題目做了不少，但卻都做到某一步就卡住了，嘆...

希望各位強者可以伸出援手ˊˋ

以下題目的σ是partial的意思因為找不到符號ˊˋ

1.

F(x,y)=xy^2+x^3+y, f(t)=t^2-1, g(t)=sint, G(t)=F(f(t),g(t)),求G'(t)

不知道為什麼我算不出來...

2.

設w=f(xy/x^2+y^2)是u=xy/x^2+y^2的可微函數，試證:x(σw/σx)+y(σw/σy)=0

這題我算出來兩個相加卻不會等於零阿

3.

若z=x+f(x)而u=xy，試證x(σz/σx)-y(σz/σy)=x

這題怎麼把u串在一起阿?

4.

z=f(2xy)^2而f為可微分函數，試證:2x(σz/σx)=y(σz/σx)

這題我不太了解平方式放在什麼上面

且我自己算...最後等號不成立也(!?)

話說話說

有人認為台聯的微積分題目簡單嗎?(我覺得好難Q.Q)

T_T

曾阿牛 · May 12, 2010

第一題　把你知道的標準答案放上來　讓俺對一對　話說回來　這題用 Chain Rule 也沒有節省多少計算

第二題　題目應該是　w=f (xy/(x^2+y^2))　　u=xy/(x^2+y^2)

第三題　題目應該是　z=x+f(x, y)　而 f(x, y)=xy　或　z=x+u　而 u=xy

第四題　平方應該放在 y 上　　所以是　z=f(2xy^2)

還有　題目是問：　試證:2x(σz/σx)=y(σz/σy)　(藍色字是你 copy 後忘了換的)

此內容已被編輯, May 13, 2010 ,由曾阿牛

曾阿牛 · May 21, 2010

第一題

$gif.latex?\displaystyle\mbox{Let }x=f(t)=t^2-1,~y=g(t)=\sin t. \mbox{ Then}\\\\G(t)=F(f(t), g(t))=F\big(x, y\big)=xy^2+x^3+y. \mbox{ Using chain rule, we get that}\\\\\frac{dG}{dt}=\frac{\partial G}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{dy}{dt}=\big(y^2+3x^2\big)(2t)+\big(2xy+1\big)(\cos t)\\\\=\big(\sin^2t+3(t^2-1)^2\big)(2t)+\big(2(t^2-1)\sin t+1\big)(\cos t)$

或是直接把 G(t) 對變數 t 求導數

$gif.latex?\displaystyle G(t)=xy^2+x^3+y=(t^2-1)\sin^2t+(t^2-1)^3+\sin t. \mbox{ Thus}\\\\\frac{dG}{dt}=2t\cdot \sin^2t+(t^2-1)\cdot 2\sin t\cdot\cos t+3(t^2-1)^2\cdot2t+\cos t$

第二題

$gif.latex?\displaystyle\mbox{Let } w=f(u)\mbox{ and }u=\frac{xy}{x^2+y^2}.\mbox{ Using chain rule, we get that}\\\\\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{d w}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{dw}{du}\cdot\frac{y(x^2+y^2)-2x^2y}{\big(x^2+y^2\big)^2}\mbox{ and}\\\\\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{dw}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{dw}{du}\cdot\frac{x(x^2+y^2)-2xy^2}{\big(x^2+y^2\big)^2}.\mbox{ Thus}\\\\x\cdot\frac{\partial w}{\partial x}+y\cdot\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{dw}{du}\cdot\frac{xy(x^2+y^2)-2x^3y}{\big(x^2+y^2\big)^2}+\frac{dw}{du}\cdot\frac{xy(x^2+y^2)-2xy^3}{\big(x^2+y^2\big)^2}\\\\=\frac{dw}{du}\cdot\frac{xy}{\big(x^2+y^2\big)^2}\bigg(\Big((x^2+y^2)-2x^2\Big)+\Big((x^2+y^2)-2y^2\Big)\bigg)=0$

第三和第四兩題與第二題的做法相似　只要在求偏導數時不犯錯　就可以解決問題

懶得打　再算不出　再說吧　　別忘了我在 #2 有指出三四題題目的錯誤

此內容已被編輯, May 21, 2010 ,由曾阿牛

♀小小ㄨ♂ · May 21, 2010

謝謝你的熱心幫忙

關於題目...

(1)第一題當初我也不知道為啥愣住，但現在覺得只是一直代換也就了解

(2)我的算法與你相同，恩恩...我發現我以為ORDER不同抱歉ˊˋ

(3)書上真的這樣印...但如果題目換成如同你那樣，那麼一切很好辦事^^

(4)藍色部分真的我打錯了應修正成妳那樣，但題目仍是我打得那樣唷

但不論是書上印的或是妳更改的，仍就算不出來...我改天再TRY看看

BTW

這本書錯誤連篇...使用起來真的蠻氣的...

所以很多根本題目是錯的或是答案是錯的

但仍就是謝謝你^^

此內容已被編輯, May 21, 2010 ,由 ♀小小ㄨ♂

May 21, 2010

偏微分的符號全部都用d代替

4. dz = f '(2xy^2)(2y^2dx+4xydy) 整理: dz = 2y^2f '(2xy^2)dx + 4xyf '(2xy^2)dy

所以說: (dz/dx) = 2y^2f '(2xy^2) , (dz/dy) = 4xyf '(2xy^2)

所以說: 4xy^2f '(2xy^2) = 4xy^2f '(2xy^2)

話說曾前輩解出來的第二題的最後一行簡化後不就等於零嗎?

♀小小ㄨ♂ · May 22, 2010

謝謝大家的協助

問題皆已解決

若還有問題會再另外PO文

感恩再感恩

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