【向量】角平線的問題

[疾風可可 10]

恩 目前大部分的補習班跟參考書

都會考 兩線方程式的角平線 鈍角 銳角之類的

今天在補習班看到松高的題目

他給一個角平分線 +一個直線方程式

求另一個的直線方程式

這是倒回去寫嘛..

題目如下(應該沒記錯)

4x-3y-1=0

角平分線為 2x-y-1=0

求另一條直線方程式

[倒唸是章魚 10]

交點(1,1)

La:4x-3y-1=0 →單位向量(3/5,4/5)

角平分線向量(1,2)

即設另一直線之單位向量(Xo,Yo)與La單位向量和會與(1,2)成比例

(3/5+Xo) : (4/5+Yo)=1:2 且Xo²+Yo²=1 解出Xo Yo再求此直線

[也可以用向量本身的旋轉 cos值相等]

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可設4x-3y-1=0 設動點(t,4t-1/3)

此動點根據角平分線作對稱點 再消去t

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過(1,1)

在4x-3y-1=0上任找另一點作對稱 如(4,5)作對稱點

此對稱點再與(1,1)求此直線

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過(1,1)

且設此直線斜率m

利用tan差角公式可求出m

即此直線為y-1=m(x-1)

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方法若有錯誤請糾正 謝謝

目前想到這些方法，看看其他人有沒有提供更好的想法囉

[夢境的行旅 10]

角平分線也可以看成鏡射線

對 2x - y - 1 = 0 的對稱點是

把4x - 3y - 1 = 0化為參數式代進去即可。

[★Nameless★ 10]

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過(1,1)

在4x-3y-1=0上任找另一點作對稱 如(4,5)作對稱點

此對稱點再與(1,1)求此直線

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【討論】這個方法較簡捷

設點(a,b)在所求直線上，

∵ ((4+a)/2, (b+5)/2) 在平分線2x-y-1=0 上，

亦即 2＊(4+a)/2-(b+5)/2-1=0 -----------(1)

又平分線2x-y-1=0斜率為2，

∵點(a,b)與(4,5)連線之斜率 -1/2，

亦即 (5-b)/(4-a)= -1/2 -----------(2)

解(1)、(2) 得 (a,b)=(12/5,29/5)

所求直線之斜率 (29/5-1)/(12/5-1)=24/7

所求直線 y-1=24/7(x-1)

[djshen1217 10]

另一個方法

使用正攝影

法向量A(4,-3) 法向量B(2,-1)

A在B上的正攝影的兩倍為A和另一條線的法向量和

(4,-3)。(2,-1)*2*(2,-1)/5=(44/5,-22/5)

(44/5,-22/5)-(4,-3)=(24/5,-7/5)

代入交點(1,1)即為所求

[夢境的行旅 10]

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過(1,1)

在4x-3y-1=0上任找另一點作對稱 如(4,5)作對稱點

此對稱點再與(1,1)求此直線

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這方法最好！厚，根本沒理由用參數式嘛。

考試的話，當然計算越短越好，減少計算錯誤。

L1_　　 4x-3y-1=0

Bisec　 2x-y-1=0

交點 : (1 ,1)

L1上再找一點例如 (4 ,5)

對2x-y-1=0 鏡射

.....一些計算...... : (12/5 ,29/5)

連線→ 24x -7y =17 考卷一角就算出來了

[★Nameless★ 10]

"倒唸是章魚" 是原創的發想者, 我不敢掠美 !!!!!!!!!!!

引用:

作者: Name-LKK倒唸是章魚

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過(1,1)

在4x-3y-1=0上任找另一點作對稱 如(4,5)作對稱點

此對稱點再與(1,1)求此直線

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[倒唸是章魚 10]

不能說原創啦 我只是想有什麼方法可以用看看

解法本來就是在那邊了...

要學的還很多@@(如另一個討論串的那一題sin極限)

[疾風可可 10]

解法好多ˇˇ 謝謝學長們的指導@@

[howt 10]

L1：4x-3y-1=0

角平分線L2： 2x-y-1=0

也可用另一方法

交點(1,1)

與L2垂直過(1,1)的直線為x+2y-3=0

令 (2x-y-1)+k(x+2y-3) // 4x-3y-1

(由於直線系的關係，取任兩項係數解k即可)

解出k後，所求直線即為(2x-y-1)-k(x+2y-3)=0