【問題】一杯水自轉

[該改 10]

為什麼一杯水自轉從側面看成拋物線

如何證明??????= ='

拜託幫幫忙～～～！！

[紅 10]

我想這跟表張有關吧

[全部猜B一定對 10]

因為水的附著力大於內聚力

[souffrance 10]

跟什麼表面張力一點關係都沒....用F=ma就可以算出拋物面的水面了....

[NoOneThere 10]

從水的側面看，先假設選轉中心是y軸，原點在旋轉出漩渦的底部

隨便選擇水面上其中一點，假設它的座標是x,y

仔細分析對他的作用力有三個

一個是重力，方向向下， F= -mg (y方向)

一個是滿足旋轉離心力的反作用力 F=mv^2 / R(x方向) ，R是轉動半徑，也就是x

又因為切線速度=角速度w*R，所以 F=mw^2x

一個是水面提供的正向力，大小不知道，方向是垂直水面

三個力要達到力平衡，一定要有的條件是

"水面正向力的方向，和重力加上離心力的合力方向相反"

這裡假定重力和離心力合力與x軸夾角為a1

水面與x軸夾角為a2

水面正向力與x軸夾角為a3

a1=a3

重力和離心力合力的方向為tan a1 =g / w^2 *x

水面的方向為 tan a2=dy/dx ，水面正向力方向為dx/dy=tan a3

由於要滿足方向相反的條件，所以cot a1=cot a3，因此合併上面兩個式子，得到

dy/dx = w^2 * x /g，解微分方程式得到， y= (w^2 /2g) x^2，是一個拋物線方程式

[夢境的行旅 10]

你們順便討論一下「如果旋轉中，讓水杯自由落體，請問拋物面會變平？變凹？」兩年前的舊文有。不過樓上較詳細。

[NoOneThere 10]

假設一個物體以加速度a往下掉落

只要用一個等效重力場取代原本的重力就好

g'=(g-a)

原本方程式變成

y= (w^2 /2g') x^2=[w^2 /2(g-a)] x^2

自由落體的情況，可以取極限讓a->g

[rainwind 10]

他們都是大學生

你可能看不懂

用高中的物理解釋

因為你說的是水

所以我們得代流體的壓力公式(說簡單ㄧ點 就是壓力公式啦)

首先

ㄧ杯水在自轉

所以外面高裡面低有壓力差 因為壓力差所形成的力差造成轉動

先假設不用圓形水杯 用長條狀的水柱(結果會一樣 不用擔心)

故公式:

(p...壓力 A...面積 g...重力場 a...加速度 l...水柱的長度 R...旋轉半徑)

F=ma

PA-P'A=(Alρ)ω^2R

hρgA-h'ρg=(Alρ)ω^2R(此處代一半的半徑)

同除ρAg

h-h'=ω^2 * l^2/2g

△h=ω^2 * l^2 /2g

故△h 正比 l^2

屬於拋物線公式

故誠拋物線

[玻色子 10]

根表張無關，是因爲旋轉有向心力的緣故，向心力來自水趨向外圍施加力在杯壁然後產生反作用力。越外圍向心力越大，所以呈抛物綫狀。這是理論上易于明白的解釋，精確來説還是要運用微積分證明。曾有做過類似的證明題。 :)

[rainwind 10]

根表張無關，是因爲旋轉有向心力的緣故，向心力來自水趨向外圍施加力在杯壁然後產生反作用力。越外圍向心力越大，所以呈抛物綫狀。這是理論上易于明白的解釋，精確來説還是要運用微積分證明。曾有做過類似的證明題。 :)

其實用正比式也無妨

因為一旦正比式

那些細微的狀況也就討論到了