【數學】代數運算

[mythman 11]

(1)

使n/14、n^2/24、n^3/162都是正整數的最小正整數n為？

為什麼n是要14、24、162的因數？

最後的答案為何還要找最小公倍數？

(2)

1/14 = 1/A+1/B+1/C，ABC是三個不同的自然數，且A<B<C，問A、B、C分別為多少？

這題有公式嗎？還是有特別的解題技巧？

(3)

2001/2003的分母與分子都加上正整數n後得到一個新的分數，其值為2004/2005，問正整數n為多少？

由題目可得知加上正整數n後可約分為2004/2005，所以將2004/2005擴分2倍後得到n為2007，約分後符合題目答案。

也可以列式變成：

2001 n/2003 n = 2004x/2005x

這只能列出這樣的式子然後一個一個慢慢帶進去算嗎？假如今天數字很大勒？

有更快的方法嗎？或是題目的目的只是讓我們用觀察的方法，擴分來找出答案的思考方向嗎？

這題有沒有較快的算法？還是只能將後來得到的分數擴分後再求n？

[清風明月 10]

(2)算法很多種

因為a<b<c

所以1/a>1/b>1/c

假設擴分之後不等式分母相等

3/3a>2/2b>1/c 設3a=2b=c則原不等式成立(因為3>2>1)

故原式1/14=3/3a+2/2b+1/c=6/c

將其擴分1/14=6/84

得c=84 b=42 a=28

答案不只一種 因為讓這不等式成立的條件有無限多種

[清風明月 10]

(2)另解

1/14=1/42+1/42+1/42

=1/21+1/42

因為我們學過1/2=1/3+1/6

所以1/42=(1/21)(1/2)=(1/21)(1/3+1/6)=1/63+1/126

故a=21 b=63 c=126

[清風明月 10]

(3)有點奇怪.............

2001/2003是真分數 加上一個不小於一的正整數

再怎麼約分都應該是假分數啊..........

怎麼會有2004/2005這種結果= =??

所以本題無解XD

[mythman 11]

最初由 清風明月 發表

(3)有點奇怪.............

2001/2003是真分數 加上一個不小於一的正整數

再怎麼約分都應該是假分數啊..........

怎麼會有2004/2005這種結果= =??

所以本題無解XD

不好意思，題目應該是分母分子都加上正整數n

[清風明月 10]

(3)大暴力解釋法= =+

題目

(2001+n)/(2003+n)=2004r/2005r

首先交叉相乘後

2005r(2001+n)=2004r(2003+n)

化簡一下 得到

nr=r(2004*2003-2005*2001)

把他展開 就得到n=2007

因為我們定義n跟r都是非零整數 使分母不為零

所以解r=0不考慮

[清風明月 10]

(3)還有一種速解

2001+n=2004r

2003+n=2005r

兩式解聯立 得n=2007

[mythman 11]

是否可將式再化簡？

我想到了一個方法，先設2001為X

然後列：

(X+N)/(X+2+N) = (X+3)/(X+4)

之後再交叉相乘

[清風明月 10]

我感覺解聯立是最快......

因為這樣順便也可將公比求出

而且相減之後係數也很簡單~