【轉貼】台大數學系有獎徵答

[夢境的行旅 10]

對不起，首先要告訴各位－－徵答有效期限早就超過了。

然後本文開始。

這些題目是每年三月台大杜鵑花節時，數學系給來訪高中同學的挑戰！！(託名曰有獎徵答)。

正如同物理系每年都玩千人震、液氮與高溫超導，化學系每年都秀指示劑變色原理，醫學系每年都在CPR......這些活動已經變成每年都有的慣例了XD 老梗

(答題獲得40點可以換小獎、150點換大獎)。我把已經解開的題目和待解開的題目分開，並且將答案反白。

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1.從1~2009的正整數中挑出任意三個數。請問最大與最小數的差值「最有可能」是多少？ (15點)

ANS: 期望值是1004 - 1 / 2009。 但最可能的差值，原PO誤，詳見五樓！

2.對於一個三角形，它的中點三角形指的是三邊中點連線而成的三角形。令T0 為任意三角形，則T_0的中點三角形是T_1，接著是T_2、T_3......這一系列的三角形會趨近於一點。請問該點是？並證明結論。 (15點)

ANS: 是重心，我的想法是－－首先，證明T_n的重心和T_n+1的重心為同一點。接著計算向量AG= - 2/5 A'G。因此A(n)G的長度趨近於0。

5.a, b, x, y 是正數且a, b互質。試證明，若已知ax + by 是 a^2 + b^2 的倍數，則bx - ay亦是 a^2 + b^2 的倍數。(30點)

ANS: 關鍵正巧是我之前在板上發問過的問題，答案請參考維基百科「費馬二平方和定理」。

6. 有n-1個整數，其中任兩者之差不為n之倍數。試證明必可挑出其中幾個數，使其總和為n的倍數。(40點)

ANS:鴿籠原理

9.試給出兩個正整數，分別是完全平方數與完全立方數，而且其和為完全四次方數。(50點)

ANS: 試出的結果－－ 28 ^2 + 8 ^3 =6 ^4 但箇中奧妙不得而知。

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結果我剛好拿到大獎XD

[夢境的行旅 10]

3.有一個遊戲是這樣的，將16張牌分為兩疊，你的得分是兩疊牌數相乘(ex 10x6=60分)遊戲一直進行到每堆只剩一張牌為止。請問所能得到最高分為何？並且證明之。 (20點)

－－我覺得是全部使用二分法，得到總分120分。但沒有簡單的證明。照點數看來這題是簡單題，證明不會太複雜。

4.有理化

　　　　1　 　　

√２+√３+√５+√６

(20點)

沒學過。不得要領。

7.寫出一個七位數，其中每個位數都大於1，而且它可以被自己所有位數的乘積整除。

(ex. 672 可被6x7x2=84整除) (50點)

似乎沒有看起來那摩簡單。

8.P(x)是一個實係數多項式，且其值恆大於零。證明存在兩個實係數多項式Q(x)、R(x)使得 [Q(x)] ^2 + [R(x)] ^2 =P(x) (50點)

似乎有點技巧性。

[夢境的行旅 10]

第四題解決，附加上一題好了。

有理化

　　　1　　

√２+3√３+1

[Xiang 10]

你該不會都大學生了還去吧...0_o

話說這基本上都是高中競賽題...

所以解法一定都很漂亮...當天去應該是能問到正解吧?

話說放這不如丟去競賽版吧

想求超強正解也去PTT MATH版比較快...

一般高中生要能有建設性的意見...不得不說有點難...

話說，為了怕這篇很像灌水...給個第九題不是很好的解法好了...

假設...a^2+b^3=c^4

b^3=c^4-a^2=(c^2+a)(c^2-a)

反正是要找解(不唯一)，就隨便假設啦

c^2+a=b^2

c^2-a=b

b=(c^2+a)/(c^2-a)=1+2a/(c^2-a)

2aX=c^2-a

c^2=(2X+1)a

b^2=c^2+a=((c^2+a)/(c^2-a))^2

c^2+a=(c^2-a)^2

(2X+1)a+a=((2X+1)a-a)^2

2X+2=4aX^2

4aX^2-2X-2=0

X=[2+sqrt(4+32a)]/8a=[1+sqrt(1+8a)]/4a

哎，其實帶出來不一定對...

在c^2那邊沒有限制到，不過帶出來的機率已經高很多啦(誤

話說第8題...

比較不技巧的作法...

基本上函數值>0就已經限定偶次方了

順便還限定了所有微分為0的點>0

後面應該可以暴力證出來(沒試過XD)

[vladmir 10]

第一題

有點不同的想法

設A B C為取出三數且A>B>C，A-C=n

則2009個數中可以取出2009-n個(A,C)

而B有n-1種選擇

所以總共可能性應該有(2009-n)*(n-1)種可能性

而n=1005時會最大

應該啦...

[夢境的行旅 10]

樓上正解，我誤了。已改過。

稟報樓樓上Keni同學，裝高中生是證明自己心境依舊青春，擁有孩童的純真眼光，必做的測驗啊。

然後這個測驗我一定被刷掉－－眼神不對，一看就知道是大學部的。

8 ^3 = 8 x 8^2 = (36 - 28) x(36 + 28) = 6 ^4 - 28 ^2 搞不好真的是這樣搞出來的

原本我試過湊畢氏數 2m, m^2 - 1, m^2 + 1 但是發現不能跑出有意義的結果 = =

[lance8537 10]

奇怪?我怎麼都看不懂= =""

[夢境的行旅 10]

第七題、

所謂的暴力解法當然是用程式跑啦！

由於顯然5不可能出現，只需嘗試2~9跳過5，共 7個數 。7的7次方 = 823543次即可，一點都不費事。

(不過若使用此法，就算得到答案，最後還是一點收獲都沒有)

所有有此性質的七位數，一共40個：

2 2 2 3 9 3 6

2 2 2 8 2 2 4

2 2 3 3 7 2 8

2 2 3 9 4 8 8

2 3 2 2 4 3 2

2 3 3 2 2 2 4

2 3 3 3 7 7 2

2 4 2 2 7 8 4

2 4 2 3 2 3 2

2 4 7 3 6 3 2

2 6 9 2 2 2 4

2 7 7 2 2 2 4

2 9 2 7 2 3 2

2 9 3 9 3 2 8

3 2 6 2 4 6 4

3 3 2 2 9 4 4

3 4 8 3 6 4 8

3 6 4 2 6 2 4

3 7 4 6 7 3 6

3 7 9 6 6 3 2

4 2 2 3 2 3 2

4 2 4 2 4 3 2

4 3 3 3 8 2 4

4 3 6 2 3 3 6

4 3 6 8 3 8 4

4 4 7 2 8 3 2

4 6 4 4 8 6 4

4 7 8 8 2 2 4

6 2 3 4 6 2 4

6 4 2 2 9 7 6

6 6 4 2 4 3 2

6 8 3 8 2 7 2

7 3 3 6 2 2 4

7 4 6 3 2 3 2

7 4 9 3 4 7 2

8 2 7 3 6 6 4

8 4 2 3 4 2 4

9 2 2 2 3 3 6

9 2 3 2 2 7 2

9 2 8 9 7 2 8

[sandman 11]

數學系好唸嗎？

我看這是台大不用動手科系的首選。

[夢境的行旅 10]

第八題想出了一個瘋狂的方法，可以說明Q(x)、R(x)的存在，而且還能具體給出建構兩多項式的方法。

Keni指出： P(x) 一定是偶數階，這給我一個重要提示

由 P(x) = [Q(x)] ^2 + [R(x)] ^2

注意到

= [Q(x) + i R(x)] * [Q(x) - i R(x)]

若degP(x)=2N ，P(x) =0 必有N 對共軛虛根！

我們可以把Q(x)這樣寫

Q(x) + i R(x) = (x- A)(x- B)(x- C)... 其中A, B, C...是任意取N對虛根的其中一個

實部與虛部分開後，哇啦！！Q(x)與R(x) 都是實系數多項式嚕～～～～

以撇號 ' 代表共軛。[Q(x) + i R(x)] ' = Q(x) - i R(x) 而且剩下的共軛根 A' ,B' ,C', ......根據共軛虛根的性質

[(x- A)(x- B)(x- C) ...]' = (x- A')(x- B')(x- C') ...

即 Q(x) - i R(x) = (x- A')(x- B')(x- C') ... 故證畢！！:p

首項係數最後乘回去即可。而且可以知道這種Q(x)、R(x) 最多有2 ^N 組 (考慮到重根)

[夢境的行旅 10]

第三題、

設函數P(N)是N張牌進行遊戲所能取得最高分

P(1)=0

P(2)=1

P(3)=3

明顯有遞迴式

P(2k) = 2 * P(k) + k ^2

P(2k+1)= P(k) + P(k+1) + k(k+1)

所以可以證明任意張數的最高分

P(4)=6

P(8)=28

P(16)=120 ~!~!~!~!~!

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不知不覺就幹掉全部題目了

歡呼！歡呼！

[仙境殺手 10]

我高一看這個對我來說跟火星文一樣

[jisam 10]

請問這題應該如何計算謝謝

有理化

　　　　1　 　　

√２+√３+√５+√６