【問題】多項式的問題

[浪飄月 10]

設a ,b 均為整數 且x^2-x-1整除 ax^17+bx^16+1 求a=

我的想法是先把x^2-x-1 換成x^2=x+1 不斷的代入 變成(1597a+987b)x+987a+610b+1=0

解出來是a=987

或直接縱合除法去做 解出來是987

我想要問看看有無更好的方法

[筱釵 10]

這篇算不算重複PO文阿~

另外一篇好像在學術討論版有PO的樣子@@

不過我還是再說一次我的想法

用微分試試看@@

[Dotswat1235 10]

微分的話就把X^2-X-1降一次方變成2X-1,設2X-1=0,答案是1/2後代入(1597a+987b)x+987a+610b+1=0的前式裡再算就解出來了

[Auron 10]

微分的話就把X^2-X-1降一次方變成2X-1,設2X-1=0,答案是1/2後代入(1597a+987b)x+987a+610b+1=0的前式裡再算就解出來了

能不能說一下為什麼

我們還沒有深入的去講微分

[Xiang 10]

微分的話就把X^2-X-1降一次方變成2X-1,設2X-1=0,答案是1/2後代入(1597a+987b)x+987a+610b+1=0的前式裡再算就解出來了

首先先不說微分的正確性（這題是錯的，自己看下面）

你代入那條化簡過後的式子幹麻勒？

光那一條式子就可以解出正解了，微分什麼？

為什麼最近一直有絕對不正確又自以為正確的回答出現。

哎，先不說高一有沒有教過微積分

要「猜」起碼也要有點根據阿

我們先假設F(x)=f(x)*g(x)好了

題目要求找出一個F(x)能用f(x)整除（即f(x)=0的解代入F(x)也為0）

如果「可以」用微分解的條件自然就是：

f'(x)=0的解代入F'(x)也為0

F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

前面一樣當然沒問題，問題就出在後面那一項

要用微分解這題的充要條件為：

f'(x)=0的至少要有一解與f(x)或g'(x)相同

這題應該是不行（沒試過）

能不能說一下為什麼

我們還沒有深入的去講微分

微分是個很複雜的東西，這種題型要用的話，主要功能在「降次」

能用的條件基本上不多，就是滿足上面的條件，通常是因式為(x-a)^2的形式

這種點滿足f(a)=f'(a)=0，要扯到微分的意義就有點麻煩啦，就是圖形上的解還有臨界點(critical point)的問題

基本上實在沒有用到微分的必要，我也看不出來用微分有什麼幫助

[chpohoa1 10]

微分是用在除式為重根多項式的時候才有用

舉例來說來f(x) 除以(x-c)^2 的餘式

由於f(x) = q(x)(x-c)^2 + r(x) ，可得f© = r©

兩邊微分得到 f '(x) = q'(x)(x-c)^2 + 2q(x)(x-c) + r'(x) ，可得 f '© = r'©

由於r(x)是一次式，由上面兩式即可得到答案

那麼如果是 f(x) 除以 (x-a)(x-b) 還可以這樣做嗎? (a≠b)

同樣的設 f(x) = q(x)(x-a)(x-b) + r(x) ，當a、b是不漂亮的複數時，f(a)與f(b)並不好算

那可以用微分嗎?

微分後得 f '(x) = q'(x)(x-a)(x-b) + q(x)(x-a) + q(x)(x-b) + r'(x)

顯然代a或b都沒有任何效益，因為會有q(a)與q(b)無法消去造成困擾

至於把除式微分令其=0，我就完全不知道意義在哪了.....

除式=(x-a)(x-b)，微分得(x-a)+(x-b)，令其=0得到x = (a+b)/2 = A

代回f(x)得到 f( A ) = q( A )*[(a-b)^2]/4 + r( A ) ，.....完全沒有得到任何東西

其實這題的除式剛好是費氏數列的遞迴式

由一些推論可以知道答案剛好是-F17跟F16

[rm2slg 10]

同樓上所述

算費氏數列比較快（有背到20的會更快）

我們可以用反過來做的方式

由於對任意x都成立，先假設x不為零

原式可以寫成：

ax^17+bx^16+1=(x^2-x-1)t(x)

兩邊同除x^17，令1/x=y有

a+by+y^17=(1-y-y^2)q(y)=(y^2+y-1)[-q(y)]

直接使用綜和除法

馬上就可以發現其實就是在算費式數列（也可以慢慢除最後一個就可算出答案）

1　0　0.....　　......b　a（點代表省略）

　-1　......

　　　F1 -F2 F3..........-F16

－－－－－－－－－－－－－

...................................0

所以a=F16，這可從原本整個數列有18項看出來，除的時候是從第二項開始，又是以正負交錯，所以是填a+(-F16)=0

a=F16=987

以下是一點淺見，與本題無關：

一般而言

非萬不得已

絕大部分高中題目是可以不需要用微積分做的

而且通常比較快也易瞭解