【問題】拉格朗日、駐波

k0185123

由 k0185123,
在 物理版

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k0185123

k0185123 11

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前陣子我有看到有人在這提到拉格朗日

據我所知

他是假設位置與速度是獨立的函數

之後藉此假設去計算一堆有的沒的！？？？？

發現結果與牛頓力學一模一樣

甚至更快

因此我想問

1.為什麼他會想到這樣假設呢＠＠？

2.那又要如何證明這是正確的？直觀上來看的確互相不獨立呀＠＠

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

常聽到有人說一定要同頻率、同振幅的波才能夠形成駐波

為什麼？

難道說不能夠這樣說嗎＠＠？

只要符合邊界條件＆能量不散失　那這種波就可稱為駐波

邊界條件就像是：在兩端都是牆壁的繩子，其兩端必為節點～

還是說駐波本來就是那樣定義

至於我講的　雖然那種波能量可以守恆，只不過我們不稱他為駐波？？

這討論可能蠻深奧的…看看也可以＝　＝

當然我也希望可以有人為這些題目做些解釋＠＠

謝謝大家＠＠

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k0185123

k0185123 11

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只能回答第二個

兩端為節點的繩子形成的波是駐波沒錯

而且其形成原因是波撞到旁邊的節點以後反射回來的波又和新形成的波互相干涉的結果

既然是反射波 那和入射波就會同頻率同振幅

所以也沒有違反駐波的特性

嗯好吧 我只能說你回答的東西跟我問的東西不是一樣的@@

波 不是只有那種形成方法 可能是無限能井的電子物質波....恩....很多種 恩

不過還是謝謝你

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k0185123

k0185123 11

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拉格朗日定律好像是高三波動學關於駐波觀念的東西吧???

我記得拉格朗日好像是印度人吧,他對於代數學,波動學都頗有研究

請參見南一版高中物理第5冊第一章

所以你的答案是　

你覺得我去看南一版高中物理第五冊第一章會有答案？？？

還是說你只是想強調你知道這個人ＡＮＤ你ＩＤ叫做宜中天才？＝＝？

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caseypie

caseypie 10

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Lagrangian跟波動完全沒有關係，從名字也很容易看出來La'grange絕對是個法國人

wekipedia的介紹, 請問和波動有關的東東在哪裡？

Lagrangian是泛函的概念，又稱「最小作用量原理」。

可以把泛函想成是「函數的函數」：

給定空間中兩點，和特定的函數形式，就可以有一組不同的函數出現

尋找這種函數形式中哪個函數的積分會是最小值，就是最小作用量原理處裡的問題。

例如說：二維空間，證明兩點間最短距離是直線。

令兩點為(0,0), (x,0), 通過兩點的函數為f(x)

則此函數經過的距離是∫√(1+f'^2)dx

求出令此積分為最小值的f(x),會發現答案是f(x) = 0

這就是最小作用量問題。

Lagrangian則是這類問題在力學上的特化。

符合牛頓力學的物體，在整個移動過成中動能T和位能U的函數，必定會滿足：

S = ∫(T-U)dt, S為最小值

L = T-U ≡ Lagrangian

Lagrangian並沒有把速度和位置當作獨立函數，而是：

t: 變數(variable)->決定 x, v: 函數(function) ->決定L: 汎函(functional)

x和v當然有關連,但是會寫成: L{x,x': t},因為速度通常無法寫成位置的簡單函數:

簡諧運動下，L = mv^2/2 - kx^2/2,請問如何把v直接用x表現出來？

而在處理問題時，Lagrangian是用偏微分，而非全微分

因此只要有下定義為獨立參數，彼此的微分會是0

這是數學問題，詳細讀過微積分就會懂的

Lagrangian在任何大學部程度的古典力學課本都會提到。

最常用的書是Marion & Thorton的 Classical Dynamics

目前應該出到第六版了，厲害的是Marion在第五版出來之前就已經不在人世了，居然書商還可以繼續改版騙錢。

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k0185123

k0185123 11

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哦哦 謝拉

那我想順便問一下他的應用方法

我聽學長說 可以用拉格朗日解這一題 而且會比牛頓力學快很多

一個天花板 掛著一個滑輪A

滑輪右邊掛著m1木塊,滑輪左邊掛著m4的滑輪B

之後滑輪B右邊又掛著m2木塊

滑輪B左邊又掛著m3木塊

求每個木塊的加速度為何

這我用一般的解法解過 答案很醜@@" 也沒有解很快 要寫一大串式子就是了

請問要怎樣用拉格朗日解呢??@@謝謝

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caseypie

caseypie 10

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哦哦 謝拉

那我想順便問一下他的應用方法

我聽學長說 可以用拉格朗日解這一題 而且會比牛頓力學快很多

一個天花板 掛著一個滑輪A

滑輪右邊掛著m1木塊,滑輪左邊掛著m4的滑輪B

之後滑輪B右邊又掛著m2木塊

滑輪B左邊又掛著m3木塊

求每個木塊的加速度為何

這我用一般的解法解過 答案很醜@@" 也沒有解很快 要寫一大串式子就是了

請問要怎樣用拉格朗日解呢??@@謝謝

這題應該是不需要用到Lagrangian....

Lagrangian其實是比較不需要物理技巧的解法

只要能列出動能T和位能U，就能列出L = T-U

然後有個Euler-Lagrangian equation 來處理這個東西

帶進去運算一下就有解

如果要用簡單型態的Lagrangian來解這一題，那和一般解法一樣

必須要先推出各滑輪和物體的加速度的比值：應該是要用到兩個獨立的位置函數

再丟進去方程式裡對每個維度做偏微分處理

如果要用更無腦的，也就是使用Lagrangian Multiplier的方法的話

那個......有點複雜，我不想在這邊解釋，因為雖然使用上無腦，可是需要的數學技巧更高...

請自己去看Marion

Lagrangian在處理大二程度以下的問題時絕對不會比較快，因為題目太簡單

這些把牛頓定律做數學轉化的方法的優勢在於比較不需要關注一些瑣碎的「算術」問題

讓人更容易去處理物理現象本身，因此在處理極端複雜的問題時非常有優勢

另一個優勢在於：力的概念其實很籠統，更沒有能量好用

因此在近代物理其實很少使用「力」來描述物理現象，都是用這些轉化過的量來討論

不過事實上掌握這些技巧需要更高竿的數學能力（並非算術能力）

才不會把物理當數學唸，甚至變成代公式的機器

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