【數學】三角形的解法－96統測題

[把握當下 10]

今天檢討數學講義時，我們的工職數學考古題

出現了一題我們剛進高中那年，高三學長姐考的統測題(96年統測)

可是我們數老說，這題考的很沒意義

還說當初考出來過沒多久，一堆數老都算不出來

雖然老師今天有解釋這題為什麼沒意義，但我想聽聽看各位的看法

在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C之對應邊長分別為a、b、c，若∠B=120°，

a=6，則下列選項何者正確？

(Ａ)0＜b-c＜3　(Ｂ)3＜b-c＜6　(Ｃ)6＜b-c＜9　(Ｄ)9＜b-c＜12。

[Xiang 10]

答案是(B)吧

這題不會沒有意義吧！

會用到一些極限，不簡單！

[AndyLeo 10]

我直接假設c = 6

一個等腰三角形 很容易解出b = 6根號3

6根號3 - 6 = 4點多

答案是(b)

這個解不是一般解 但是考試就是求快麻XD

[把握當下 10]

答案是(B)吧

這題不會沒有意義吧！

會用到一些極限，不簡單！

我直接假設c = 6

一個等腰三角形 很容易解出b = 6根號3

6根號3 - 6 = 4點多

答案是(b)

這個解不是一般解 但是考試就是求快麻XD

可是在我們老師解的同時下，我也覺得這題根本不知道在考什麼

而且老師都說沒意義了，看的出來是這樣

我們解的解法是：

c+b＞b

→6＞b-c

b平方=c平方+36-2．c．6．cos120°

b平方=c平方+6c+36=(c+3)平方+27

b平方-(c+3)平方=27

b平方-(c+3)平方=27→(b+c+3)(b-c-3)=27

b-c-3＞0

→b-c＞3

因此答案是(B)

[Xiang 10]

不知道該說什麼耶，如果早已認定這題沒有意義

我不知道你是想要聽什麼「看法」

上述方法非常標準

顯然就是參考書上印的那種

非常漂亮，想到的人真的很厲害

考的意義？當然就是會想到的人不多啊

以下是我使用較「笨拙」的方法

但也應該是對數學老師來說非常基本的解法

或許超過一點點高中的教材（嚴格講起來應該也沒有就是了）

設∠A=θ, ∠C=60∘-θ, 0<θ<60∘

帶入正弦定理

b-c=6(sin120∘/sinθ)-6(sin(60∘-θ)/sinθ)

展開整理後

b-c=3sqrt(3)*((1-cosθ)/sinθ)+3

(1-cosθ)/sinθ在第一象限遞增

可得:

θ極靠近0時b-c有最小值

θ極靠近60∘時b-c有最大值

lim(θ→0) (1-cosθ)/sinθ = 0

lim(θ→60∘) (1-cosθ)/sinθ = sqrt(3) / 3

解得:

3<b-c<6

想法很簡單，就是用代數方法解出最大最小值

[把握當下 10]

不知道該說什麼耶，如果早已認定這題沒有意義

我不知道你是想要聽什麼「看法」

上述方法非常標準

顯然就是參考書上印的那種

非常漂亮，想到的人真的很厲害

考的意義？當然就是會想到的人不多啊

以下是我使用較「笨拙」的方法

但也應該是對數學老師來說非常基本的解法

或許超過一點點高中的教材（嚴格講起來應該也沒有就是了）

設∠A=θ, ∠C=60∘-θ, 0<θ<60∘

帶入正弦定理

b-c=6(sin120∘/sinθ)-6(sin(60∘-θ)/sinθ)

展開整理後

b-c=3sqrt(3)*((1-cosθ)/sinθ)+3

(1-cosθ)/sinθ在第一象限遞增

可得:

θ極靠近0時b-c有最小值

θ極靠近60∘時b-c有最大值

lim(θ→0) (1-cosθ)/sinθ = 0

lim(θ→60∘) (1-cosθ)/sinθ = sqrt(3) / 3

解得:

3<b-c<6

想法很簡單，就是用代數方法解出最大最小值

就是因為老師說沒意義

我才要看看別人作法到底是怎樣沒意義

而且這題本來就有點怪

裡面的東西都沒有解出來

更何況這題是工職數學非高中數學

以高中生的看法也許不一樣吧

[Xiang 10]

就是因為老師說沒意義

我才要看看別人作法到底是怎樣沒意義

而且這題本來就有點怪

裡面的東西都沒有解出來

更何況這題是工職數學非高中數學

以高中生的看法也許不一樣吧

其實工職數學應該比高中數學還要強調幾何部份

像是三角函數以及微積分的「應用」

另外你們老師提供的解法對高職生來說也許沒意義

但是對高中生自然有另當別論

數學上有很多題目本來就會需要很多技巧

在未解出b與c的情況就能得出b-c是厲害，不是沒意義

這種類型的題目看多了，未來解題是自然就更有機會找到各種好的解法

什麼叫做「別人的作法是怎樣沒有意義」？

如果是想要別人解完後，說聲「真的沒有意義！」的話

應該是不用發這篇文了

[☆ Ｂｅｉ〃 10]

就是因為老師說沒意義

我才要看看別人作法到底是怎樣沒意義

而且這題本來就有點怪

裡面的東西都沒有解出來

更何況這題是工職數學非高中數學

以高中生的看法也許不一樣吧

請和你們老師說

不是解不出來答案就沒意義

在條件不足的情況下求出解的範圍 這才厲害

樓上的代數字太屌了啦> <

[把握當下 10]

其實工職數學應該比高中數學還要強調幾何部份

像是三角函數以及微積分的「應用」

另外你們老師提供的解法對高職生來說也許沒意義

但是對高中生自然有另當別論

數學上有很多題目本來就會需要很多技巧

在未解出b與c的情況就能得出b-c是厲害，不是沒意義

這種類型的題目看多了，未來解題是自然就更有機會找到各種好的解法

什麼叫做「別人的作法是怎樣沒有意義」？

如果是想要別人解完後，說聲「真的沒有意義！」的話

應該是不用發這篇文了

其實你解題的那種方法，我們沒學這麼深，更沒有用到極限來解

可能高職數學解題技巧沒高中這麼難吧

我們只是工職數學，而且這題目是放在三角形解法裡

而且我說過了

同一題數學，在高職和高中生眼裡的解法意義不一樣

不過還是謝謝學長你的方法

[Simlple 10]

我不知道高職有沒有教餘弦耶...

如果用餘弦算的話...

應該也可以吧@@"

小弟的愚見...

[豬皮^m^ 10]

其實考試要求快的話

先看看選項 ...

摁 ...

分別是<3 . <6 . <9 . <12

摁 ...

三角形任兩邊和大於第三邊

三角形任兩邊差小於第三邊

摁 ...

答案 B XD !

如果要算出b+c>3的話

要用餘弦配合配方法去算

我覺得沒意思的地方在於 ...

只用上面紅色那句話就能選答案了 = = !

[yutsao 10]

其實考試要求快的話

先看看選項 ...

摁 ...

分別是<3 . <6 . <9 . <12

摁 ...

三角形任兩邊和大於第三邊

三角形任兩邊差小於第三邊

摁 ...

答案 B XD !

如果要算出b+c>3的話

要用餘弦配合配方法去算

我覺得沒意思的地方在於 ...

只用上面紅色那句話就能選答案了 = = !

這方法要冒點風險，頂多我只能說刪去C、D，

無法保證沒有其他條件限制住b+c<3。

要算了才知道。

[00 10]

不知道該說什麼耶，如果早已認定這題沒有意義

我不知道你是想要聽什麼「看法」

上述方法非常標準

顯然就是參考書上印的那種

非常漂亮，想到的人真的很厲害

考的意義？當然就是會想到的人不多啊

以下是我使用較「笨拙」的方法

但也應該是對數學老師來說非常基本的解法

或許超過一點點高中的教材（嚴格講起來應該也沒有就是了）

設∠A=θ, ∠C=60∘-θ, 0<θ<60∘

帶入正弦定理

b-c=6(sin120∘/sinθ)-6(sin(60∘-θ)/sinθ)

展開整理後

b-c=3sqrt(3)*((1-cosθ)/sinθ)+3

(1-cosθ)/sinθ在第一象限遞增

可得:

θ極靠近0時b-c有最小值

θ極靠近60∘時b-c有最大值

lim(θ→0) (1-cosθ)/sinθ = 0

lim(θ→60∘) (1-cosθ)/sinθ = sqrt(3) / 3

解得:

3<b-c<6

想法很簡單，就是用代數方法解出最大最小值

由於這部份有點不好交代(考證明題而且解題的人不知道微積分的話)，我補充一個高中範圍內能處理的方法。

要證0<θ<pi/3時，0<(1-cosθ)/sinθ<(sqrt(3)/3

>0顯然，以下證明右邊

cosθ=(1-(tanx)^2)/(1+(tanx)^2)

sinθ=(2tanx)/(1+(tanx)^2)

x=θ/2,0<x<pi/6

帶入得(1-cosθ)/sinθ=(2sqrt(6)tanx+1-(tanx)^2)/(1+(tanx)^2)

要證它大於1，等於證分子大於分母(分子分母恆正)

2sqrt(6)tanx+1-(tanx)^2>(1+(tanx)^2)等價於

tanx<sqrt(3)/3，這由角度的範圍可以直接得出。

[夜喬 10]

我不知道高職有沒有教餘弦耶...

如果用餘弦算的話...

應該也可以吧@@"

小弟的愚見...

高工數學當然有教餘弦...