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江湖舊夢

我先來個開始吧

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題目:

二維平面上,任意13個格子點

試證明:其中必存在4個點,它們的重心亦為格子點

名詞解釋

格子點:即(x,y)中x,y皆為整數

重心:此題中為4點x,y分別相加後除以4所得的點

________________________________

第一次做這題時覺點還不簡單

有興趣的人來解解看吧

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訪客

我數學不太好,錯了不要笑,不過我覺得看起來像是用鴿籠,或是一個個擺上去,最後第13個基於某某原因就沒得放了

好像廢話xd

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有個想法...就先將所有整數分為4k,4k+1,4k+2,4k+3(k為整數)四組

將題目簡化為:13個點在下圖之中,必存在四點之重心亦位於格子中

|---------|---------|---------|---------|

|   |   |   |   | 4k+3

|---------|---------|---------|---------|

|   |   |   |   | 4k+2

|---------|---------|---------|---------|

|   |   |   |   | 4k+1

|---------|---------|---------|---------|

|   |   |   |   | 4k

|---------|---------|---------|---------|

 4k  4k+1 4k+2 4k+3

然後用反證法,即令"13個點中,其中任意4個點,它們的重心皆不為格子點"

由上圖得重心為格子點之可能為

|---------|---------|---------|   |---------|---------|---------|---------|

| @ |   | @ |   |@ @| @ |   | @ |

|---------|---------|---------|   |---------|---------|---------|---------|

|   |   |   | 或 

|---------|---------|---------|   |---------|---------|---------|---------|

| @ |   | @ |   | @ |@ @| @ |   |

|---------|---------|---------|   |---------|---------|---------|---------|

經過多番嘗試,最多只能填入12個點可使其中任意4個點,它們的重心皆不為格子點

例:

|---------|---------|---------|---------|

| @ | @ | @ | @ |4k+3

|---------|---------|---------|---------|

| @ |   |   | @ |4k+2

|---------|---------|---------|---------|

| @ |   |   | @ |4k+1

|---------|---------|---------|---------|

| @ | @ | @ | @ |4k

|---------|---------|---------|---------|

 4k  4k+1 4k+2 4k+3

不論第13點填何處,皆會形成上述兩種情況之一,與原命題矛盾

故"任意13個格子點,其中必存在4個點,它們的重心亦為格子點"

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

我覺得這樣正好像怪怪的...不知行不行的通...

感謝 justinyeh 對我在畫圖上的協助^_^

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最初由 水泉合 發表

有個想法...就先將所有整數分為4k,4k+1,4k+2,4k+3(k為整數)四組

將題目簡化為:13個點在下圖之中,必存在四點之重心亦位於格子中

|---------|---------|---------|---------|

|   |   |   |   | 4k+3

.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

我講一下我的想法

假設四點座標分別是(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4)

那麼重心就是(1/4(X1+X2+X3+X4),1/4(Y1+Y2+Y3+Y4))

所以只要證明一條數線上任取13整數點

必有四點的平均值是整數

就醬...

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請你寫一下過程好嗎,這方法我不是沒想過,但這裡有x和y欸

如果只有其中一個,只要任取7點就必有4點的平均為整數

但現在有兩變數,也就是說如果x合而y不合仍不成立

這樣交相作用後,就會變得很複雜...

所以我才想到用這種怪怪的方法...

如果你有想出證明過程請告訴我好嗎,我很想知道(畢竟我的方法太怪.)..

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最初由 水泉合 發表

請你寫一下過程好嗎,這方法我不是沒想過,但這裡有x和y欸

如果只有其中一個,只要任取7點就必有4點的平均為整數

但現在有兩變數,也就是說如果x合而y不合仍不成立

這樣交相作用後,就會變得很複雜...

所以我才想到用.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

呵呵...只要對於一維空間符合

二維就一定會成立滴

自己多想想吧...^^

(向量的獨立性.它們是互不干涉的)

BTW...不是7點...只要任取5點就行了

↑這句話是錯的.Sorry.7是對的

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你說清楚一點啦,我很笨的...

我向量那邊學的不是很好...所以,我自己沒辦法想出來...

還有,若取{1,4,5,8,9,12}這六個數,沒有一組4個的平均為整數啊!!

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訪客
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