【分享】Σｎｋ次方公式及推導(倒)過程

[蝴蝶♂ 10]

原網頁：http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1006122906714

由二項式定理可導出Σｎｋ 的通式：Σｎｋ ＝（1／Ｃ1ｋ＋1）．

［(ｎ＋1)ｋ＋1 －Ｃ2ｋ＋1 (Σｎｋ- 1) －Ｃ3ｋ＋1 (Σｎｋ-2) － …… －Ｃｋｋ＋1 (Σｎ) － (ｎ＋1)］

以下是推導過程：

1ｋ＋1 ＝ ………… ＝ 1

2ｋ＋1 ＝ (1＋1)ｋ＋1 ＝ 1ｋ＋1 ＋ Ｃ1ｋ＋1．1ｋ ＋ Ｃ2ｋ＋1．1ｋ- 1 ＋……＋ Ｃｋｋ＋1．1 1 ＋ 1

3ｋ＋1 ＝ (2＋1)ｋ＋1 ＝ 2ｋ＋1 ＋ Ｃ1ｋ＋1．2ｋ ＋ Ｃ2ｋ＋1．2ｋ- 1 ＋……＋ Ｃｋｋ＋1．2 1 ＋ 1

4ｋ＋1 ＝ (3＋1)ｋ＋1 ＝ 3ｋ＋1 ＋ Ｃ1ｋ＋1．3ｋ ＋ Ｃ2ｋ＋1．3ｋ- 1 ＋……＋ Ｃｋｋ＋1．3 1 ＋ 1

…

…

…… (ｎ＋1)ｋ＋1 ＝ ｎｋ＋1 ＋ Ｃ1ｋ＋1．ｎｋ ＋ Ｃ2ｋ＋1．ｎｋ- 1 ＋……＋ Ｃｋｋ＋1．ｎ1 ＋ 1

上列等式相加，消去共同項（紅色）：

(ｎ＋1)ｋ＋1 ＝ Ｃ1ｋ＋1．(Σｎｋ) ＋ Ｃ2ｋ＋1．(Σｎｋ- 1)＋……＋ Ｃｋｋ＋1．(Σｎ) ＋ (ｎ＋1)

⇒Σｎｋ ＝（1／Ｃ1ｋ＋1）［(ｎ＋1)ｋ＋1－Ｃ2ｋ＋1 (Σｎｋ- 1) －……－Ｃｋｋ＋1 (Σｎ)－(ｎ＋1)］

舉些例子：

Σｎ1 ＝（1／Ｃ12）［(ｎ＋1) 2 － (ｎ＋1)］

＝ ｎ(ｎ＋1)／2

Σｎ2 ＝ （1／Ｃ13）［(ｎ＋1) 3 － Ｃ23 (Σｎ) － (ｎ＋1)］

＝（1／3）［(ｎ＋1) 3 － 3．ｎ(ｎ＋1)／2 － (ｎ＋1)］

＝ ｎ(ｎ＋1)( 2ｎ＋1)／6

Σｎ3 ＝ （1／Ｃ14）［(ｎ＋1) 4 － Ｃ24 (Σｎ2) －Ｃ34 (Σｎ) － (ｎ＋1)］

＝（1／4）［(ｎ＋1) 4 － 6(ｎ(ｎ＋1)( 2ｎ＋1)／6) － 4(ｎ(ｎ＋1)／2) － (ｎ＋1)］

＝ ｎ2 (ｎ＋1) 2／4

Σｎ4 ＝ (1／5)［(ｎ＋1) 5 － 10．（Σｎ3）－ 10．（Σｎ2）－ 5．（Σｎ）－ (ｎ＋1)］

＝ (1／5)［(ｎ＋1)5 － 10（ ｎ2 (ｎ＋1) 2 ／4）－ 10（ｎ(ｎ＋1)( 2ｎ＋1)／6）

－ 5（ｎ(ｎ＋1)／2）－ (ｎ＋1) ］ ＝ ……

＝ ｎ（ｎ＋1）（2ｎ＋1）（3ｎ2 ＋3ｎ－1）／30

Σｎ5 ＝ (1／6)［(ｎ＋1) 6 － 15．（Σｎ4）－ 20．（Σｎ3）－ 15．（Σｎ2）－ 6．（Σｎ）－ (ｎ＋1)］＝ ……

[space20021 10]

用這個方法，

要推倒n=10的公式的話，

就必須把n=1~9全部都推一遍.....(汗

不過總比沒有好啦XD

[熱血阿豪XD 10]

ＳＩＧＭＡ的推倒(導)真麻煩= =

(之前我推到4次方就不太想再推了 囧)

[健健XD 10]

感覺起來四次方以後都很麻煩阿=口="....

話說我有證過8次方...9次方就放棄了

[蝴蝶♂ 10]

完成一個公式需要的公式數以等比級數上升啊...

[熱血阿豪XD 10]

那當Lim n n→無限 就要使用無窮等比了嗎 囧

[葉東 10]

感覺起來四次方以後都很麻煩阿=口="....

話說我有證過8次方...9次方就放棄了

請問一下你推了多久= =+((光是想就會怕.....

[健健XD 10]

很久阿XD...是國中在補習班不想聽課時...慢慢一條一條證....

跟算2^350(我最高也只算到這)有的拚...全部加起來的話

[邦仔 10]

不懂 冏rz

[Whoopeeee! 10]

看不懂...

Ｃ1. Ｃ2. Ｃ3....是啥意思啊?

[蝴蝶♂ 10]

看不懂...

Ｃ1. Ｃ2. Ｃ3....是啥意思啊?

大吸通常指常數吧...

[邦仔 10]

為啥ｎｋ會變成Σｎｋ ??

[蝴蝶♂ 10]

為啥ｎｋ會變成Σｎｋ ??

蛤?

[邦仔 10]

沒事

我想通了 orz