量子力學入門：極為唬爛的薛汀格方程式由來(含簡單微積分)

[caseypie 10]

<原文首次發表於台大物理冷月流蘇bbs站>

首先先看能量守恆式：

p^2/2m + V = E

我們如何把它和波結合在一起呢？

一般來說,波可以拆成下列形式的疊加：

Ψ(x,t) = Exp[i(kx-ωt)]

然後我們知道,根據這之前的研究結果(黑體輻射和光電效應),有下列關係式:

E = (h_bar)ω, p = (h_bar)k

所以我們需要造就的方程式是：

((h_bar)^2)*k^2/2m + V = (h_bar)ω ...........................(*)

首先看左邊,我們要怎麼造出k?

很簡單嘛：把Ψ對x偏微分

dΨ/dx = ikΨ

要湊兩個k, 於是：

d^2Ψ/dx^2 = -k^2Ψ ..........................................(1)

再看右邊,要湊出一個ω:

於是把Ψ對t偏微分：

dΨ/dt = =iωΨ ..............................................(2)

然後代入(*)式

=> [-(h_bar)^2/2m](d^2Ψ/dx^2) + VΨ = -i(h_bar)(dΨ/dt)

這就是Time-dependent, non-relativistic Schroedinger's Equation

很隨便吧？根本是硬湊出來的

如果我們用分離係數法解 Time-dependent Schroedinger's Equation,則：

令 Ψ =φ(t)ψ(x)

可以得到： -i(h_bar)(dφ/dt) = Cφ => φ = A*Exp[-Ct/(h_bar)]

我們可以令:C/(h_bar) = ω ,

於是：C ≡ E = 總能量

於是,剩下的ψ(x)的部份就是 Tim-independent Shroedinger Equation:

=> [-(h_bar)^2/2m](d^2Ψ/dx^2) + VΨ = EΨ

此內容已被編輯, August 10, 2010 ,由 trausing

[橘子 雙子寶寶 10]

痾....好複雜阿

我記得不是有一個公式

可以根據一個物體的質量還啥的

算出他的物質波波長嗎~~(那本書被我還了> <

還是說我是在說些不相干的= =~(不確定> <

[heinsolid 10]

樓上講的關係式是λ = h / p，在猜薛丁格方程時會用到。

[Pingveno 10]

這篇證明了，我連入門都還不到。:s

黃企鵝'080914

[橘子 雙子寶寶 10]

樓上講的關係式是λ = h / p，在猜薛丁格方程時會用到。

可不可以冒昧問一下....p是啥....h是普朗克常數嗎....??我忘了= =

這篇證明了，我連入門都還不到。:s

黃企鵝'080914

沒關西拉~~樓主好像是你學長~~以後就跟他一樣強啦~;-)

[Pingveno 10]

可不可以冒昧問一下....p是啥....h是普朗克常數嗎....??我忘了= =

p是動量，h是蒲朗克常數。:)

~~樓主好像是你學長~~以後就跟他一樣強啦~;-)

呵，我早已跟Caseypie裝熟了，他很厲害...= =凸

黃企鵝'080914

[Dotswat1235 10]

我對量子力學裡的芮得柏方程式及氫原子模型較有研究,說到薛丁格方程式的推導我實在看的眼花瞭亂阿!!!

說到波耳還真是偉大阿!!年紀輕輕竟有了不起的成就,30幾歲就拿到了諾貝爾化學獎,王水也是他調配的!!

真希望我也能像他看齊

[heinsolid 10]

王水不是非常古老的東西嗎？

http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%8E%8B%E6%B0%B4&variant=zh-tw

[九天驚虹 10]

一、

這很有趣

在某些書上其實就有提到了 例如像近代物理課本之類跟量子力學有關的部份

這個想法很容易理解 只要先清楚兩個部份

(1) 自由粒子的波函數 ─ 其實不過就是最簡單的波動

它會是 kx - wt的函數

k跟波長有關 因此跟動量可以扯上關係

w跟頻率有關 因此可以跟能量扯上關係

做個代換 就可以讓自由粒子波函數方程式出現 動量與能量

事實上 我們容易發現 對x偏微可以得到動量

對t偏微可以得到能量

(2) 能量守恆 E = K + V

在非相對論性情況

E = p^2/2m + V

同乘以波函數y Ey = Ky + Vy

再把(1)裡頭的動量與能量代進入 就猜出薛丁格方程了

二、 動量算符、能量算符

事實上 這個技巧也可以幫你合理地猜出動量算符、能量算符

如果有抓到這個想法的精隨

之前的計算(一、) 可以迅速得到

至於這部份 就留給有興趣繼續探討的人去弄

[Dotswat1235 10]

王水不是非常古老的東西嗎？

http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%8E%8B%E6%B0%B4&variant=zh-tw

王水是丹麥科學家波耳為了在二次大戰時,怕他的諾貝爾金質獎章落入德軍手中,用硝酸+鹽酸以1:3的比例調成,將純金獎章融解,果然那瓶王水不曾被德軍注意,德軍戰敗,波耳再將王水裡的金質獎章重新鑄造,恢復原本獎章的樣子= =""

[Dotswat1235 10]

我並沒有說是他發明的阿

[phoe˙ 10]

王水是丹麥科學家波耳為了在二次大戰時,怕他的諾貝爾金質獎章落入德軍手中,用硝酸+鹽酸以1:3的比例調成,將純金獎章融解,果然那瓶王水不曾被德軍注意,德軍戰敗,波耳再將王水裡的金質獎章重新鑄造,恢復原本獎章的樣子= =""

那個......^o)^o)

我記得恢復成金質獎章不是他本人唉= == =""

好像是他的朋友，聽說也得過諾貝爾獎.....xdxd

[Dotswat1235 10]

嗯???那是我們補習班老師講義寫錯鏤!!!我去找他糾正

[yutsao 10]

突然想到Classical Wave Equation

(d^2 ψ)/(dx^2 )+(4π^2)ψ/λ^2 =0

可以弄出來

(d^2 ψ)/(dx^2 )+(4π^2)ψ/λ^2=0

→(d^2 ψ)/(dx^2 )+(8π^2 m(E-V))ψ/h^2=0

→h^2/(8π^2 m) (d^2 ψ)/(dx^2 )+(E-V)ψ=0

→h^2/(8π^2 m) (d^2 ψ)/(dx^2 )-Vψ=-Eψ

→-h^2/(8π^2 m) (d^2 ψ)/(dx^2 )+Vψ=Eψ

[buare 10]

薛丁格方程的由來是:薛丁格看到光譜的公式,非常類似於當時在熱傳學中,早就已經發展成熟的邊界值問題來的,他把Hamilton–Jacobi equation經由德布羅伊的公式,將邊界值問題(工學院大二的工程數學會到這個topic)跟量子物理拉上關係,於是產生量子力學,與其說是證明(proof)還不如說是推導(derivative),所謂的證明是基於一個不需要再證明的原理,經過運算導致的結果,這樣才叫證明!至於說將古典的或者說高中生的 (動能+位能)=E 經由一個微分符號代換變成量子力學,這種方法叫Wigner算符法!所有的薛丁格類的量子力學都可以先寫出古典的動能與位能式子,並且把動量用(-i*d/dx)代換,而位置用x代換就推導出來了!簡單說:所有在高中學到的能量守恆巨觀現象.都可以量子升級變成量子力學問題,只要你學會解偏微分方程就可以了!

至於怎樣證明薛丁格方程,那是可以的,就是費曼的博士論文!他用變分方法(Feynman's Thesis: A New Approach to Quantum Theory;亞馬遜網路書店可以找得到),所謂的變分方法就是微分的微分(不是兩次微分的意思,是一種更高級的形式微分理論)!要是學到怎樣證明薛丁格方程,就會真的感受到量子力學不可思議的地方!沒有用費曼的方法來作的證明,充其量都只是推導,一種輔助記憶的方法而已,所以根本不是唬爛不唬爛的問題!人家都很清楚跟你說是推導了,你硬要說人家是證明,再來罵他,真的是很不公道!

[Perturbation 10]

有關"量子力學"

推薦大家去看這本新書:

http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010572019

此內容已被編輯, December 30, 2012 ,由 Perturbation
修正連結網址

[猜測時空的模樣 10]

<原文首次發表於台大物理冷月流蘇bbs站>

首先先看能量守恆式：

p^2/2m + V = E

我們如何把它和波結合在一起呢？

一般來說,波可以拆成下列形式的疊加：

Ψ(x,t) = Exp[i(kx-ωt)]

然後我們知道,根據這之前的研究結果(黑體輻射和光電效應),有下列關係式:

E = (h_bar)ω, p = (h_bar)k

所以我們需要造就的方程式是：

((h_bar)^2)*k^2/2m + V = (h_bar)ω ...........................(*)

首先看左邊,我們要怎麼造出k?

很簡單嘛：把Ψ對x偏微分

dΨ/dx = ikΨ

要湊兩個k, 於是：

d^2Ψ/dx^2 = -k^2Ψ ..........................................(1)

再看右邊,要湊出一個ω:

於是把Ψ對t偏微分：

dΨ/dt = =iωΨ ..............................................(2)

然後代入(*)式

=> [-(h_bar)^2/2m](d^2Ψ/dx^2) + VΨ = -i(h_bar)(dΨ/dt)

這就是Time-dependent, non-relativistic Schroedinger's Equation

很隨便吧？根本是硬湊出來的

如果我們用分離係數法解 Time-dependent Schroedinger's Equation,則：

令 Ψ =φ(t)ψ(x)

可以得到： -i(h_bar)(dφ/dt) = Cφ => φ = A*Exp[-Ct/(h_bar)]

我們可以令:C/(h_bar) = ω ,

於是：C ≡ E = 總能量

於是,剩下的ψ(x)的部份就是 Tim-independent Shroedinger Equation:

=> [-(h_bar)^2/2m](d^2Ψ/dx^2) + VΨ = EΨ

那個...dΨ/dt = =iωΨ 其實是dΨ/dt =-iωΨ吧

所以你整理後這個1/-i=i喔~~

[-(h_bar)^2/2m](d^2Ψ/dx^2) + VΨ = -i(h_bar)(dΨ/dt)

多了一個負號

應該是 [-(h_bar)^2/2m](d^2Ψ/dx^2) + VΨ = i(h_bar)(dΨ/dt)才對喔~~:D

ㄜ剩27天學測了真不應該去研究薛丁格方程XD

[Perturbation 10]

那個...dΨ/dt = =iωΨ 其實是dΨ/dt =-iωΨ吧

所以你整理後這個1/-i=i喔~~

[-(h_bar)^2/2m](d^2Ψ/dx^2) + VΨ = -i(h_bar)(dΨ/dt)

多了一個負號

應該是 [-(h_bar)^2/2m](d^2Ψ/dx^2) + VΨ = i(h_bar)(dΨ/dt)才對喔~~:D

ㄜ剩27天學測了真不應該去研究薛丁格方程XD

不一定啊　說不定出題的教授是物理系的老師　搞不好心血來潮就出了量子力學的問題:o

[愛飄影 10]

看到此文 小的深感慚愧ㄚ

眼花撩亂ㄚ！！