【數學】請求根號求值問題

[飄逸精靈 10]

題目如下：

已知有一算式：根號(x^2-4x+8) + 根號(x^2-9x+18)

請問：此算式之值最小為多少

[大張 11]

嘿嘿~文組生來小試身手囉！

但我只是把我的想法PO出來，

因為最後一個解題步驟我自己也覺得很怪異...

煩請數學好的大大們也來幫忙吧！

看到這個題目，

我馬上想起算幾不等式：

[(a+b)/2]>=[根號(ab)]

所以原式就可變成

[根號(x^2-4x+8) + 根號(x^2-9x+18)]>=2{根號[根號((x^2-4x+8)(x^2-9x+18))]}

[根號(x^2-4x+8) + 根號(x^2-9x+18)]>=2{根號[根號((x^2-4x+8)(x-3)(x-6))]}

(這些括號還真是眼花撩亂...)

因此我們就只要求(x^2-4x+8)(x-3)(x-6)的最小值就好了；

當然，x還必須符合(x^2-4x+8)>=0 and (x^2-9x+18)>=0

但其實(x^2-4x+8)是個恆正式(用判別式檢驗即可)，

所以焦點就暫時被放在(x^2-9x+18)，也就是(x-3)(x-6)身上囉！

(x-3)(x-6)>=0

x<=3 or x>=6

很明顯的，這個式子在x=3或x=6的時候最小(=0)

這個時候就又要回頭看看(x^2-4x+8)一下了：

x^2-4x+8

=(x^2-4x+4)+4

=(x-2)^2+4

可以看得出來這是條拋物線，

開口朝上，頂點是(2,4)

所以最低點在x=2的地方

因此綜合兩者，

或許可以合理地猜測x=3會使整個式子變的最小(右式=0)，

(這裡是我覺得有問題的地方...)

所以把x=3代進去！

根號(x^2-4x+8) + 根號(x^2-9x+18)

=根號(3^2-4*3+8) + 根號(3^2-9*3+18)

=根號5

我覺得有問題的原因是，

x=3的確可以使不等式右邊變得最小(=0)

(其實x=6也讓不等式右邊變為0，

但因為x=6會讓(x^2-4x+8)變得比x=3大，

所以x=6才比較不好)

但不管怎樣，我們要求值的畢竟是不等式的左式，

而左式是否最小似乎和右式是否最小沒有必然關係。

所以結論是：這個算法就當當參考吧！XD

[rm2slg 10]

sqrt(x^2-4x+8)+sqrt(x^2-9x+18)

=sqrt[(x-2)^2+4]+sqrt[(x-3)(x-6)]

(x-3)(x-6)≧0（為讓上式存在於實數系內）

=>x≦3 or x≧6

for x<3 or x≧6，sqrt[(x-2)^2+4]>sqrt(5)，sqrt(x^2-9x+18)≧0

所以x=3在實數系內有最小值sqrt(5)