【討論】[測試] 理想氣體壓力

[清純小百合 10]

一個直立的封閉玻璃管 裝有h高的水銀 水銀將玻璃管分隔成上下兩塊氣體區域 起先兩塊區域體積相同 若此玻璃管均勻受熱 水銀會往上或往下移動!!?

歡迎大家踴躍發表意見!! 任何一篇回覆都是讓物理版更進步的原動力:)

[此為測試討論主題]

[烽火 10]

刪除

[~飛藍~ 10]

所謂的玻璃管均勻受熱

是說上下兩個氣體吸收的能量相同?

還是說上下兩個氣體溫度相同？

要不要考慮水銀的熱傳導?

[清純小百合 10]

所謂的玻璃管均勻受熱

是說上下兩個氣體吸收的能量相同?

還是說上下兩個氣體溫度相同？

要不要考慮水銀的熱傳導?

可以試著以你想像的到的情況都去討論 :p

[鹿角 11]

先假設位於上方的空氣塊為A氣體

下方的空氣塊為B氣體

在設A氣體壓力為P

則B氣體壓力為P+h (cm-Hg)

因為體積、溫度相同，所以AB氣體分子數成比例

令A氣體分子數為n B氣體分子數為 (1+h/p)n

均勻加熱

A、B氣體溫度仍相同

即Ta = Tb

所以 PV1 / n = ( P + h ) V2 / ( 1+ h/p )n

上式整理得到V1 = V2

所以體積不變

以上討論假設氣體為理想氣體

水銀的體膨脹係數遠小於氣體，所以水銀的體積變化忽略

[~飛藍~ 10]

我算出來了，但是有一點長= =^o)

假設一開始的玻璃管

水銀密度為d

水銀高度為h

氣室長度為l

玻璃管截面積為A

溫度為Ti

上面氣室的壓力為Pui

莫耳數為nu

下面氣室的壓力為Pui

莫耳數為nu

Pui+dgh=Pdi-----1

PuilA=nuRTi-----2

PdilA=ndRTi => PuilA+dghlA=ndRTi-----3(把1帶入)

加溫之後的玻璃管

溫度為Tf

上面氣室的壓力為Puf

上面氣室長度為2l-x

下面氣室的壓力為Puf

下面氣室長度為x

莫耳數不變(因為沒有氣體進出)

Puf+dgh=Pdf-----4

Puf*(2l-x)*A=nuRTf =>2PuflA-PufxA=nuRTf-----5(乘開)

PdfxA=ndRTf =>PufxA+dghxA=ndRTf-----6(把4帶入)

解

Puf*(2l-x)/(Puil)=Tf/Ti (把5式除2式)

=>Puf=PuilTf/((2l-x)*Ti)-----7

Tf*(PuilA+dghlA)=Ti(PufxA+dghxA) (把3式除6式)

=>Tf*(Puil+dghl)=Ti(PuilxTf/(2l-x)*Ti+dghx)(把7帶入並除以A)

=>TfPuil((2l-2x)/(2l-x))=dghxTi-dghlTf

=>dghTix^2-(2TfPui+dgh*(2Ti+Tf))*lx+2(Pui+dgh)*Tf*l^2=0

用公式解解x

x=((2TfPui+dgh*(2Ti+Tf))*l-((2TfPui+dgh(2Ti+Tf)*l)^2-8dghTi*(Pui+dgh)*Tf*l^2)^1/2)/2dghTi

之後我假設數字

Ti=300K

Tf=400K

g=9.8m/s^2

d=17.4kg/m^3(我忘記了真正的密度為多少)

Pui=10Pa(會不會有點太低？)

h=10cm

l=20cm

則x=22.4cm

所以下面氣室的體積會增加:E

跟上面那個人算的不同的原因

應該是他假設加溫前後上下氣室的壓力都沒有改變

但這有一個問題

公式解在根號的部分有正負兩解

我直覺告訴我取負

而且用計算機算出來正值也不合理

但是我無法用公式去證明= ='

這就是如果上下兩個氣室溫度相同的情況拉

至於吸熱相同的情況，我改天再解好了

(直覺告訴我不會變0_o)

什麼是測試討論主題啊？

[caseypie 10]

初態: 下部壓力P+K, 體積V ; 上部壓力P,體積V, K是支撐水銀所需的多餘壓力

末態: 下部壓力P1, 體積V1, 上部壓力P2,體積V2

設:初態溫度T, 末態溫度aT, a為倍數

(P+K)V/T = P1V1/(aT) ............(1)

PV/T = P2V2/(aT)...................(2)

V1+V2 = 2V (忽略水銀膨脹).....(3)

P1-P2 = K..............................(4)

by (1): aPV+aKV = P1V1

by (2): aPV = P2V2

=> aKV +P2V2 = P1V1.............(*)

by (3)(4)(*): aKV+(2V-V1)(P1-K) = P1V1

=> 2P1V+KV1+(a-2)KV = 2P1V1..............(**)

by (1)(**):

P1 = a(P+K)V/V1

2a(P+K)V^2/V1+KV1+(a-2)KV = (2aP+aK+2K)V

=> K(V1/V)^2 - (2aP+aK+2K)(V1/V) +2a(P+K) = 0

為V1/V之一元二次方程式,解之,得:

V1/V = [(2aP+aK+2K) ± √(4(aP)^2+(aK)^2+4K^2+4PKa^2-4aK^2)]/(2K)

代入a = 1, 會發現正號不合V1/V = 1之初始條件

故:

V1/V = [(2aP+aK+2K) - √(4(aP)^2+(aK)^2+4K^2+4PKa^2-4aK^2)]/(2K)

再設初始壓力P為K之b倍,即 P = bK:

V1/V = (2ab+a+2 - √((2ab)^2+4ba^2+a^2-4a+4))/2

代入幾個不同的a,b,可以發現當a>1,則V1/V>1

直接用Mathematica畫圖,確定for all b, as a>1, then V1/V>1

故,下部體積增加

[清純小百合 10]

所以 是否有板友可以做個結論呢 :p

[caseypie 10]

結論給啦：

下部體積增加

因為水銀和玻璃都算不差的熱導體,所以穩態是整個系統溫度相同

又就算考慮水銀膨脹,那也是上下兩側減少同樣體積,不影響答案

再考慮水銀蒸發也不影響結果,理由同水銀膨脹

[清純小百合 10]

我不是這個意思

目前應有兩個方向導出的結論 所以應有兩種不同該考慮的情形和條件

:P

況且依樓上所言 一開始兩塊氣體體積相同 減少相同體積不也是相同嗎!!?

[caseypie 10]

哪兩個方向?

那個上下壓力完全不變的解法是錯的

P,V的初末態全都一樣,那不就表示T也一樣

那到底是加熱了什麼東西阿

一開始就不該預設P會不變

我和飛藍搞了一堆參數分析後的結果才是對的

至於上下吸熱量相同的情況

我已經說了,玻璃和水銀的導熱性沒差到那種程度,所以穩態一定是溫度平衡

除非你還要假設只加熱某端,那就有溫度梯度,

不過這樣的解也很明顯：加熱哪頭哪頭的體積就變大

你的第二個問題我不是很懂

我說的上下側增加/減少體積,是指因為水銀的膨脹和蒸散造成的體積變化

根據反應速率定律,這沒有理由會兩邊不對等

[清純小百合 10]

哪兩個方向?

那個上下壓力完全不變的解法是錯的

P,V的初末態全都一樣,那不就表示T也一樣

那到底是加熱了什麼東西阿

喔 真的是這個樣子嗎!!?

一開始就不該預設P會不變

我和飛藍搞了一堆參數分析後的結果才是對的

至於上下吸熱量相同的情況

我已經說了,玻璃和水銀的導熱性沒差到那種程度,所以穩態一定是溫度平衡

除非你還要假設只加熱某端,那就有溫度梯度,

不過這樣的解也很明顯：加熱哪頭哪頭的體積就變大

您可以不用這麼激動 發表這篇測試主題 本就是要測試各位版友對同一篇主題不同的方向 並無對錯 或許在您認為相當簡單的結論當中 也有一些值得探討的東西

你的第二個問題我不是很懂

我說的上下側增加/減少體積,是指因為水銀的膨脹和蒸散造成的體積變化

根據反應速率定律,這沒有理由會兩邊不對等

我想聽聽這個"沒有理由"的根據在哪裡 :p

[caseypie 10]

想到一個比較簡單的解釋方法:

初始態上方壓力P,下方壓力P(1+x), Px = mg = 水銀重量

也就是上方粒子數n,下方粒子數n(1+x)

先固定住水銀,也就是在體積相同的情況下加熱

PV = nRT

上下方V相等T相等,於是壓力比等於粒子數比

此時上方壓力P',下方壓力P'(1+x),也就是下方比上方壓力多了P'x

而P'>P, 所以P'x > Px = mg

於是水銀整體受力(P'-P)x向上

加熱完後放開水銀

水銀受力上移,下方體積增加

[caseypie 10]

第一個問題:

PV=nRT, 既然初態末態的P,V,n都一樣,自然T也一樣

第二個問題:

主題可以無對錯的原因是因為可以不斷加入原本未考量到的因子

但是這裡你的題目已經定義清楚的說明是水銀和玻璃了

除非你宣稱有一種導熱率差到爆炸的玻璃,水銀也是異次元的水銀(金屬沒有導熱差的)

否則持續討論絕熱情況才會造成的"吸收相等熱量"的case是無意義的

第三個問題:

1.熱膨脹不受地心引力影響,所以朝上朝下的膨脹量相同

2.蒸氣壓只和溫度有關,與其餘氣體的氣壓無關,因此水銀蒸氣造成的壓力上下抵銷

附註:

我沒有激動,只是言簡意賅了些

[清純小百合 10]

第一個問題:

PV=nRT, 既然初態末態的P,V,n都一樣,自然T也一樣

中間隔著水銀 P n應該不會相同

第二個問題:

主題可以無對錯的原因是因為可以不斷加入原本未考量到的因子

但是這裡你的題目已經定義清楚的說明是水銀和玻璃了

除非你宣稱有一種導熱率差到爆炸的玻璃,水銀也是異次元的水銀(金屬沒有導熱差的)

否則持續討論絕熱情況才會造成的"吸收相等熱量"的case是無意義的

關於主題方向這方面我會再多思考 希望能對以後的討論方向有幫助 謝謝您的意見

第三個問題:

1.熱膨脹不受地心引力影響,所以朝上朝下的膨脹量相同

2.蒸氣壓只和溫度有關,與其餘氣體的氣壓無關,因此水銀蒸氣造成的壓力上下抵銷

了解!!

附註:

我沒有激動,只是言簡意賅了些

以上

[caseypie 10]

中間隔著水銀 P n應該不會相同

我說的是同一側加熱前後初末態的比較,不是上下同溫下的比較

[清純小百合 10]

我說的是同一側加熱前後初末態的比較,不是上下同溫下的比較

了解 所以正確完整的說 若要形成鹿角和您所說的情況 事實上是可以討論的 但實質上沒有什麼意義 是這樣子吧!!? :p

[caseypie 10]

了解 所以正確完整的說 若要形成鹿角和您所說的情況 事實上是可以討論的 但實質上沒有什麼意義 是這樣子吧!!? :p

不是,這是兩件事情

我說的"討論上沒有意義"

是針對飛藍第一個回應提到的"上下吸熱相同(但溫度不同)"的狀態

理由是題目已經講明了是水銀和玻璃

鹿角那篇的狀況是根本就算錯了

題目的重點是加熱(能量流入),他在說如果沒有能量流入時會怎樣怎樣

根本文不對題