【數學】如何用最少的砝碼數量表示最多的數字？

[雲中子 10]

有一題數學題目，我已經想好幾天了，我雖然知道用二進位法去求解，但是無法證明我的作法是對的（雖然與標準答案相同）：

小明有一個天平，但無砝碼

他要秤的物質質量，都是整數（1，，2，3，4，….63克）

如果要以最少的砝碼數量，來適用於所有的質量狀況，應該準備幾個砝碼？法碼的質量應各為多少？

我的解法如下：

63化成二進位法＝111111

亦即，只要準備好2^5=32克，好2^4=16克，好2^3=8克，2^2=4克，2^1=2克，2^0=1克

就可以應付1～63克的所有狀況

但是要如何證明這樣的解就是最少的狀況呢？

（怎麼知道不會有3進位或4進位…..等的情況，可以使用更少法碼呢）

[逼勾 10]

解的漂亮！

我想了10幾分鐘得到一個小結論

我自己取一個數字"14"試試

14二進位=1110

所以依照上面的作法得到的是8克、4克、2克各一個

但這很明顯的是錯誤的 (沒有1一定會錯)

後來

因為63很特殊是111111

所以我就想會不會是

2^x洽>某數

而解剛好有x個，分別是2^0、2^1......2^(x-1)

這結果就合理多了

但最後我只知道這是2特有的性質

不知道講的還可不可以

[bobuway 10]

其實證明最少不難~~

因為如果砝碼不多於5個,那最多只能秤出2*2*2*2*2=32個數(每個砝碼都可以「拿」或「不拿」)

那麼當然就無法表示到63個數囉~