88年臺中1中數理資優班甄選考試數學試題有3題不會寫

[B0858B 11]

1.求直線7x+9y=1上的格子點(x，y)=?[(x，y)為格子點←→x，y均為整數

2.承第1題求與原點(0，0)的距離<50之格子點的個數?

3.設a，b，c均為正數且(a+1)(b+1)(c+1)=8，試證:abc≦1

[weiye 10]

1.求直線7x+9y=1上的格子點(x，y)=?[(x，y)為格子點←→x，y均為整數

先找特殊解（可以用輾轉相除法，尤拉法，秦九韶大衍求一術，或是乾脆用亂試的都可以）

求得一組特殊解為 (x, y) = (4, -3)

所以通解就是 (x, y) = (4+9t, -3-7t) ，其中 t 為任意整數。

2.承第1題求與原點(0，0)的距離<50之格子點的個數?

利用上小題的結果，帶入 x^2+y^2 < 50^2

解 t 的一元二次不等式，找出 t 的範圍，並且從而看出 t 的整數解，

就知道 (x, y) 解的組數了.

3.設a，b，c均為正數且(a+1)(b+1)(c+1)=8，試證:abc≦1

利用算幾不等式，

　　　　(a+1)/2 ≧ √a

　　　　(b+1)/2 ≧ √b

　　　　(c+1)/2 ≧ √c

三者相乘，可得

　　　　(a+1)(b+1)(c+1)/8 ≧ √(abc)

把已知條件 (a+1)(b+1)(c+1)=8 帶入上式，可得

　　　　1 ≧ √(abc)

兩邊平方可得，

　　　　1 ≧ abc