【問題】有理數,無理數 不都是無窮多嗎?

[Esther Chang 10]

我最近想了解費馬最後定理的大概理論和邏輯過程

看到這句話:

今日所有數學家都知道有理數和無理數都是無限多 但無理數的確比有理數多得多

這個嘛? 不是都是無窮多 該怎麼比較呢?

由於他有話一個我完全看不懂的數線(長得很普通 看不懂有任何關聯)

問了老師

他說:意思是 有理數+有理數=有理數 但是 有理數+無理數=無理數

所以無理數會比較多...

(他叫我意會一下...雖然大家也都會知道感覺無理數會比較多 但是該怎麼證明呢?)

我覺得他的講解讓我無法接受

因為無理數+無理數有機會=有理數(雖然感覺比較少...)

麻煩各位題出點想法了 謝謝

[PichuChen 10]

恩..請舉出無理數+無理數如何成為有理數

假設兩無理數p q

p=a+b,a屬於有理數,b屬於無理數

則q=c-b c屬於有理數

p+q=a+c (有理數)

有理數+有理數的結果數一樣

[幻楓冰羽 10]

確實都是無窮多

但是兩者仍然不同

而且無限大是無法直接彼此做比較的

有理數集合為可數無限集(Countably infinite set)

無理數集合為不可數集(Uncountable set)

直觀來想...所謂的「可數」,顧名思義即是可以數的出來

類似把物體編號1,2,3,...等

也就是正整數集合和可數集合可以有一對一的對應關係

所以集合元素個數是有限個(finite),則必然是可數集合(數的完)

可數無限集合則是可以數,但是數不完

不可數集合無法跟正整數集合有一對一對應關係,故曰不可數

若假設無理數集合為可數

例如3.1415926

2.7182818

...............

x.xxxxxxx

我可以再找出新的無理數,第一位數與第一個無理數不同

第二位數與第二個無理數不同......以此類推

顯然新的無理數不在剛才的無理數集合之中,故無理數不可數

且由此結果可知無理數較有理數多

[Esther Chang 10]

恩..請舉出無理數+無理數如何成為有理數

假設兩無理數p q

p=a+b,a屬於有理數,b屬於無理數

則q=c-b c屬於有理數

p+q=a+c (有理數)

有理數+有理數的結果數一樣

我沒看懂你所要表達的是什麼勒?

看起來推論是一樣的....結果好像也沒差多少...

(我有沒看到什麼隱藏的東西嗎?)

版主麻煩一下 把這個回應刪了

-我明明按編輯 怎麼會這樣= =

[Esther Chang 10]

恩..請舉出無理數+無理數如何成為有理數

假設兩無理數p q

p=a+b,a屬於有理數,b屬於無理數

則q=c-b c屬於有理數

p+q=a+c (有理數)

有理數+有理數的結果數一樣

我沒看懂你所要表達的是什麼勒?

看起來推論是一樣的....結果好像也沒差多少...

(我有沒看到什麼隱藏的東西嗎?)

幻楓冰羽的回答...謝

嗯~想是老師說的文言版

就像是假設有理數有X個

那麼無理數就像是至少有X+無限大 個

是吧?!(雖然我這個譬喻有點糟)

[幻楓冰羽 10]

我沒看懂你所要表達的是什麼勒?

看起來推論是一樣的....結果好像也沒差多少...

(我有沒看到什麼隱藏的東西嗎?)

幻楓冰羽的回答...謝

嗯~想是老師說的文言版

就像是假設有理數有X個

那麼無理數就像是至少有X+無限大 個

是吧?!(雖然我這個譬喻有點糟)

如果想知道比較詳細的資料的話

就需要參考高等微積分的書籍了

也會有比較詳細的證明:)

[夢境的行旅 10]

請搜尋關鍵字：康托、連續統假設、可數無限