【數學】求n值

[九天驚虹 10]

設n是自然數且n^2 + 6n + 26 為完全平方數，求n。

我覺得這一題的方法不好想= ="

很難抓到感覺,

有人能說明,

為什麼知道要那樣做嗎?

不過首先,還是得先試試看,能不能解出來.

剛好又看見一道求n的題目XD

2. 一自然數n除以13及11的餘數分別為5及4且1<n<500,

則此種自然數n有多少個?

我想不需要問n等於多少了,乾脆問幾個.

[五月飛雪 11]

這... 我記得是高一的 =口=

原式 = n^2 + 6n + 9 + 17

=> 設原式為k^2

k^2 - ( n + 3 ) ^ 2 = 17

[ k + ( n + 3 ) ] [ k - ( n + 3) ] = 17

又

17是質數

故 [ k + ( n + 3 ) ] = 17

[ k - ( n + 3) ] =1

n + 3 = 8

要說為什麼嘛.... 這..

因為17是質數 若為兩數鄉乘的話一定是 1 跟自己

便可求了

( 我會不會解釋得很爛@@? )

[九天驚虹 10]

最初由 五月飛雪 發表

這... 我記得是高一的 =口=

原式 = n^2 + 6n + 9 + 17

=> 設原式為k^2

k^2 - ( n + 3 ) ^ 2 = 17

[ k + ( n + 3 ) ] [ k - ( n + 3) ] = 17

又

17是質數

故 [ k + ( n + 3 ) ] = 17

[ k - ( .............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

標準的作法,連範圍都被破解了XD

n^2+6n+26 = K^2 (k是自然數)

(n+3)^2 + 17 = k^2

重點就在這裡,要移項的是(n+3)^2而不是17

如果用移17,就會得到 n = ( k^2-17 )^0.5 -3

接下來就不知道如何下手了,除非硬代. (有人能這樣繼續算嗎?)

而如果移項整理成：k^2 - (n+3)^2 = 17

便能利用平方差公式分解，而右邊的17正好又是質數。

因此只有 17 =1 * 17 這種可能。

事實上，題目並不一定會設計成質數。如果不是質數，只需要多

討論幾種情形就好了。

[rabbit76112 10]

其實我覺得不一定要用原本的方法

如果用圖法練網的方式也可以求出來

意思是說用一個一個數字慢慢帶

不知道大大接受不接受這個方法

[九天驚虹 10]

最初由 rabbit76112 發表

其實我覺得不一定要用原本的方法

如果用圖法練網的方式也可以求出來

意思是說用一個一個數字慢慢帶

不知道大大接受不接受這個方法

當然囉,提出這道問題,

就是希望能見識到更多的解法.

基本上,一到數學題目,很少只有一種算法,

不知道你的土法煉鋼是怎樣煉的?:)

[五月飛雪 11]

因為我是想用平方差公式看可不可以弄出什麼東西

所以沒想到要移17 ....

[九天驚虹 10]

最初由 五月飛雪 發表

因為我是想用平方差公式看可不可以弄出什麼東西

所以沒想到要移17 ....

我是想說先移17

得到n的表示法

但接下來就只能代答案了...

後來才移平方項

僅一念之間就差了真多...

(正是數學的可愛之處= =|||||||)

[SRX 10]

最初由 九天驚虹 發表

當然囉,提出這道問.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

土法煉鋼

我沒煉過欸

她指的一個帶應該是

for ( i=1 , tmp=i*i+6*i+26 ; sqrt(tmp)*sqrt(tmp)-tmp ; i++ , tmp=i*i+6*i+26 ) ;

吧

就是 n 一直帶到符合為止 , 當然如果解數學可以當作程式解題的話就可以這樣帶(H)

可是解數學用暴力法解比較沒意思

這個我好像在高一上也看過 , 應該是高一上的題目

[rabbit76112 10]

當然囉,提出這道問題,

就是希望能見識到更多的解法.

基本上,一到數學題目,很少只有一種算法,

不知道你的土法煉鋼是怎樣煉的?

這位大大你好像是在嘲笑我喔......(開玩笑^^)

你問我士法煉鋼是怎麼練成的話

那就要先問你是怎麼看這個題目的?

[九天驚虹 10]

最初由 rabbit76112 發表

當然囉,提出這道問題,

就是希望能見識到更多的解法.

基本上,一到數學題目,很少只有一種算法,

不知道你的土法煉鋼是怎樣煉的?

這位大大你好像是在嘲笑我喔......(開玩笑^^)

你問我士法煉鋼是怎麼練成的話

?............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

n^2 + 6n + 26 = k^2

=> n =( k^2 -17 )^0.5 - 3 (負的情況不可能,直接排除掉)

分析一下就知道

k要從6開始代..

代到9的時候,就有解了...

但是問題出在於,自然數有無窮多個,我這樣的解法並不能保證洽只有一個滿足,所以硬幹是不合理的.

再繼續分析的話

( k^2 -17 )^0.5 必為自然數

所以再假設 k^2 - 17 = c^2

=> k = ( c^2 - 17 )

從這邊就可以發現, 我這樣做,不過在重複之前的動作

因此換個想法,

k^2 - c^2 = 17

(k+c)(k-c) = 17

k+c是正的,因此k-c也是正的

又k,c都是自然數

故只有一種可能 k+c = 17 k-c = 1

解聯立得到 k = 9

因此 n = 5

[rabbit76112 10]

問題是k^2是你自已假設的

而n^2+6n+26才是我們原本的題目吧

而且我們主要應該是求n而不是求k吧

所以要帶也是帶n而不是k

我會想到用這個方法是因為我覺得這個方法

會比你用正規的方法算還要快

也許你可能沒辦法接受這麼牽強的解釋吧

[九天驚虹 10]

最初由 rabbit76112 發表

問題是k^2是你自已假設的

而n^2+6n+26才是我們原本的題目吧

而且我們主要應該是求n而不是求k吧

所以要帶也是帶n而不是k

我會想到用這個方法是因為我覺得這個方法

會比你用正規的方法算還要快

也許你可能沒辦法.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

問題是直接代n會算不完

n有無限多個,不可能一一驗證

看我的解法就會發現,

在求n的時候,我要設k求,

接著為了求k,可能又另外假設一個變數,

因此發現這樣做沒有意義,

所以得到的結論就是,

一開始就利用平方差的公式,與質數的分解,這樣的關係

就能求得.

[SRX 10]

最初由 九天驚虹 發表

最初由 rabbit76112 發表

問題是k^2是你自已假設的

而n^2+6n+26才是我們原本的題目吧

而且我們主要應該是求n而不是求k吧

所以要帶也是帶n而不是k

我會想到用這個方法是因為我覺得這個方法

會.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

如果題目有說唯一解的話請帶 , 如果這題n要很大才解的出來

唯一解 , 你以為你算的跟電腦一樣快嗎?

[rabbit76112 10]

不過我認為出題老師應該是不會這樣整人的啦

因為他出這樣的題目

只是為了考你的觀念而已

雖然你說的也沒錯啦數字很大的話的確是會帶到天黑

但是對考試而言時間也就是金錢

能用又快又準的方法算出答案不是才是最重要的嗎?

也許你可能不認同我的想法

只是我認為數學其實是一門很輕鬆的科目

不必把它想得這麼的困難

想得這麼困難也只不過是自已嚇自已吧了

[SRX 10]

最初由 rabbit76112 發表

不過我認為出題老師應該是不會這樣整人的啦

因為他出這樣的題目

只是為了考你的觀念而已

雖然你說的也沒錯啦數字很大的話的確是會帶到天黑

但是對考試而言時間也就是金錢

能用又快又準的方法算出答案不是才是最.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

加油 , 我相信你能成為 brute force master !

[極‧KID 11]

呵

我覺得育達得同學

你用的是最古老的方法...

如果假設此題他是屬於C

那可能帶一生你都帶不完囉~~

所以不如先把N假設一個數字

這樣豈不是比較快呢?

有些題目是真的用土法煉鋼比較快

可是大部分的題形不如知道他的觀念和解法

再來求 不是會方便許多嗎?

這也是我們學習的目的吧^^~

[rabbit76112 10]

最初由 魅•{極影} 發表

呵

我覺得育達得同學

你用的是最古老的方法...

如果假設此題他是屬於C

那可能帶一生你都帶不完囉~~

所以不如先把N假設一個數字

這樣豈不是比較快呢?

有些題目是真的用土法煉鋼比較快

可是大部分的題形不如知.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

這個我當然也是知道的呀

只是我也不過是提出我自己的想法而以

其實數學並不是只有一種解法

有時候正規算會比旁門左道的好

不過也有相反的時候呀

觀念雖然重要

但是會運用那才是更重要的吧

[五月飛雪 11]

加油 , 我相信你能成為 brute force master !