【問題】柯西不等式

[叛逆天使 10]

試問比較廣義及狹義的柯西不等式(過程盡量詳細).........................

[藍天琴人 10]

柯西不等式...事實上是由向量內積所遇到的角度問題進而衍伸出來的不等式...

多半用於解析幾何方面...

然後將解析幾何當中的座標分析系統...

裡面用於表達位置的座標廣義化...將座標分量使用為可以自由帶入數字...

就變成了代數型態的柯西不等式...

以上整理為...

1.向量上面衍伸出來的現象...所用的柯西...

2.將向量座標代數化所使用的柯西......

而第一個可能就是樓主所說的狹義

第二個應該就是廣義了吧...

如果要進一步分析的話...

可能以後我再修文...

或是在另行發文囉...

希望有大概回答到你的問題...

[jack chen 10]

柯西不等式...事實上是由向量內積所遇到的角度問題進而衍伸出來的不等式...

多半用於解析幾何方面...

然後將解析幾何當中的座標分析系統...

裡面用於表達位置的座標廣義化...將座標分量使用為可以自由帶入數字...

就變成了代數型態的柯西不等式...

以上整理為...

1.向量上面衍伸出來的現象...所用的柯西...

2.將向量座標代數化所使用的柯西......

而第一個可能就是樓主所說的狹義

第二個應該就是廣義了吧...

如果要進一步分析的話...

可能以後我再修文...

或是在另行發文囉...

希望有大概回答到你的問題...

這位大大說得是已經差不多了

但就我所知

以上這兩點應該都是狹義柯西

而狹義的柯西如果代數來表示的話

(a1^2+a2^2+.....+an^2)(b1^2+b2^2+.....+bn^2)≧(a1b1+a2b2+...+anbn)^2

ai , bi 屬於實數

而廣義的話應該是

(a1^q+a2^q+.....+an^q)^(1/q)(b1^p+b2^p+.....+bn^p)^(1/q)≧(a1b1+a2b2+...+anbn)

ai , bi 屬於正實數 1/p+1/q＝1

[skywalkerJ.L. 10]

這位大大說得是已經差不多了

但就我所知

以上這兩點應該都是狹義柯西

而狹義的柯西如果代數來表示的話

(a1^2+a2^2+.....+an^2)(b1^2+b2^2+.....+bn^2)≧(a1b1+a2b2+...+anbn)^2

ai , bi 屬於實數

而廣義的話應該是

(a1^q+a2^q+.....+an^q)^(1/q)(b1^p+b2^p+.....+bn^p)^(1/q)≧(a1b1+a2b2+...+anbn)

ai , bi 屬於實數

廣義的柯西不等式應該是

設a_ij為非負實數(i=1, 2, 3, ..., m, j=1, 2, ...., n)，則

(a_11a_12.....a_1n ＋ a_21a_22....... a_2n ＋ ........＋a_m1a_m2....... a_mn )^n

≦(a_11^n+a_21^n+....+a_m1^n)(a_12^n+a_22^n+.....+a_m2^n)......(a_1n^n+a_2n^n+.....+a_mn^n)

另外，我猜上面的大大要打的應該是這個，因為次方剛好是打p,q

(a1^q+a2^q+.....+an^q)^(1/q)(b1^p+b2^p+.....+bn^p)^(1/p)≧(a1b1+a2b2+...+anbn)

ai , bi 屬於正實數，其中1/p+1/q=1([p,q>0)

這是Holder 不等式，柯西不等式是他的特例(其實名字有點不太對，不過那種字我打不出來=.=)

[skywalkerJ.L. 10]

補充，關於廣義柯西

http://www3.cnsh.mlc.edu.tw/~math/new.htm

這個網站下面的地方有關於它的介紹

[藍天琴人 10]

廣義的柯西不等式應該是

設a_ij為非負實數(i=1, 2, 3, ..., m, j=1, 2, ...., n)，則

(a_11a_12.....a_1n ＋ a_21a_22....... a_2n ＋ ........＋a_m1a_m2....... a_mn )^n

≦(a_11^n+a_21^n+....+a_m1^n)(a_12^n+a_22^n+.....+a_m2^n)......(a_1n^n+a_2n^n+.....+a_mn^n)

另外，我猜上面的大大要打的應該是這個，因為次方剛好是打p,q

(a1^q+a2^q+.....+an^q)^(1/q)(b1^p+b2^p+.....+bn^p)^(1/p)≧(a1b1+a2b2+...+anbn)

ai , bi 屬於正實數，其中1/p+1/q=1([p,q>0)

這是Holder 不等式，柯西不等式是他的特例(其實名字有點不太對，不過那種字我打不出來=.=)

嗯...

此篇和我所想要表達的廣狹義概念相同...(只是講的又再細一些了)

而且我認為啦...樓主所說廣狹義的認定應該是在高中學生所討論學習的範圍之內...

不會牽扯到實虛數的計算...

而再下在學習這一塊的時候...

並沒有聽聞他的定名...

但是還是用來解了一些高中生看不到的若干問題了...

ps.thx for 你的符號表達啦,,,XD