【問題】你的立體感好嗎?兩圓柱三圓柱垂直相交

[夢境的行旅 10]

先說結論：

兩同半徑圓柱垂直相交，其交集部分體積

是長、寬、高皆為2r 的立方體體積的２／３倍

然後，

三個圓柱垂直相交，交集部分體積

是長、寬、高皆為2r 的立方體體積的（2－√２）倍

請幫我驗算（不然遺害會留在版上很久0_o）

[夢境的行旅 10]

1.算式

V= 8*2*∫dv

= 16*∫[1/4πr^2 - 1/2 θ r^2 -1/2 r^2 sinθ cosθ]*(r cosθ dθ)

2.

V= 8*3*∫dv

= 24*∫[1/4πr^2 - θ r^2 -r^2 sinθ cosθ+ r^2 sin^2θ]*(r cosθ dθ)

圖解:(誰說只可意會不可「言傳」，一圖勝過萬言。)

[Zeta 10]

圖解在這裡，但不是用積分來解的，只是讓概念更清晰而已

兩圓柱垂直相交的部分稱為［牟合方蓋］，為劉徽想出來的，但他在《九章算術》裡卻算錯了

牟合方蓋圖文解說：http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/squ_sphe/squ_sphe.html

三個互相垂直的圓柱相交出來的部份稱為［胡碧松猜想］

以下是圖文解說：http://greensky624.spaces.live.com/blog/cns!76273A0EEEB5E43A!708.entry

若是n 個圓柱相交，就稱為n階牟合方蓋，至今尚未有人提出計算方法。

[夢境的行旅 10]

關鍵字：祖暅(音更)原理、牟合方蓋

兩個圓柱相交算對了很開心說。三個的雖還沒驗證，但圖形確定沒錯，有信心結果也是。

插圖解說：最右邊的是三圓柱相交體的解析圖，很抱歉示意功能不彰，再努力。三樓的連結裡的示意圖可惜亦些許失去原味。也沒列入相關的計算。

[Zeta 10]

關鍵字：祖暅(音更)原理、牟合方蓋

兩個圓柱相交算對了很開心說。三個的雖還沒驗證，但圖形確定沒錯，有信心結果也是。

插圖解說：最右邊的是三圓柱相交體的解析圖，很抱歉示意功能不彰，再努力。三樓的連結裡的示意圖可惜亦些許失去原味。也沒列入相關的計算。

嗯，兩圓柱相交的積分結果一開始是用直角座標計算，後來才轉成圓柱座標

三圓柱相交的體積在第一象限是類似一個鳥類的頭形，我有完整的計算過程，但一直找不到

也忘了怎麼算了＝＝

我再找找