【問題】y=xsinx的切線

[夢境的行旅 10]

求與函數y=xsinx相切於無限個點的直線方程式

首先可以求出y'=xcosx+sinx

(a,a*sina)為圖形上的點

所以切線L: y-a*sina=(a*cosa+sina)(x-a)

接著要如何想？並且要怎麼說明，求出的直線（圖形上看來應有兩條）一定與其切於無限多點？

[小暐 10]

剛剛想到一個方法

但好像會導至矛盾~"~

[psi 10]

y=x 如何?

只要x=(0.5+2k)兀 都相切

k為整數

[夢境的行旅 10]

y=±x怎麼看都對，但是為什麼？

[夢境的行旅 10]

xcosx的"週期"是2π（並不是真正的週期函數，只是回到0）

sinx的週期也是2π

所以斜率dy/dx會每隔2π回到1（但x= -3π/2不合）

只是，光這樣不夠說明這些點會在同一直線上啊。

[chpohoa1 10]

xcosx的"週期"是2π（並不是真正的週期函數，只是回到0）

sinx的週期也是2π

所以斜率dy/dx會每隔2π回到1（但x= -3π/2不合）

只是，光這樣不夠說明這些點會在同一直線上啊。

首先xsinx 對y軸對稱 故考慮x>=0的部分即可

因為f(x) = xsinx =< x

在 f(a) = a 附近的區間內 有f(x)<x (a=π(4k+1)/2，k=0,1,2..)

故當

1.h<0時 ，知f(a+h)<a+h

f(a+h)-f(a) < a+h - a = h

=> [f(a+h)-f(a)] / h >1

2.h>0時 ，f(a+h)<a+h

=>f(a+h)-f(a) < a+h - a = h

=> [f(a+h)-f(a)] / h < 1

3.由均值定理知f'(a)=1

故f(x)有一無限多切點之切線y=x

同理可證y=-x也是

不知道你是希望這種的證明還是??

[psi 10]

直觀來說...sinx <1

y=sinx 的振幅是被y=x所限制的,因此每個相對極大值都落在y=x上

[夢境的行旅 10]

f(a+h)-f(a) < a+h - a = h

這一步是否有誤，不等式的相減須注意。

由7樓的想法改良，想到說明的方法:

在 x=2kπ+π/2 處導數y'=xcosx+sinx的值為1

而二次導數 y''=2cosx-xsinx 值為-π/2<0

由幾何意義可以直觀的看出的確是切線沒錯

仍期待一個比以上明瞭的算法，畢竟這原本是甄試考題\(u.u)|||