【問題】y=a^x和y=x的交點

[ynotony 10]

設y=a^x且a>1，其中（舉例）︰

在a=√2時，和y=x直線有兩交點。（2,2）和（4,4）

在a=2時，和y=x直線沒有交點。

所以說，當a從逼近1的值開始慢慢增大時，和y=x會從兩交點，變成一個交點，之後就沒有交點。

那麼當y=a^x和y=x恰有一交點時，a為多少???

[heinsolid 10]

易知 y = x = a^x ，得 ln x = x ln a --- (1)。

將 y = a^x 對 x 微分得 y' = a^x * ln a ，因和直線 y = x 相切，切點斜率為 1 ，故 1 = a^x * ln a = x ln a --- (2)。

聯立 (1) (2) 兩式，得 x = e ， a = e^(1/e) ≒ 1.4447 。

[ynotony 10]

原來還要用到微分和e= ='，對現在的我來講，還有好長一段距離喔T_T

[jacafe 10]

在這裡提供另一個方法：利用"幾何作圖"

或者y=a^x與y=以a為底 x 的對數，以y=x為對稱軸