【問題】拋式線都是相似型?

[九把刀卡車 10]

最近在教圓錐曲線

老師在講拋物線時有提到

"所有拋物線都是相似型"

請問

為什麼?

如何證明?

[00 10]

分享我的看法，不知道完不完整。

首先要證明平面座標上拋物線經座標軸平移旋轉後必可以寫成y=ax^2的形式（a>0），證明不好寫，建議參考數甲（上）裡應該有一章講圓錐曲線的旋轉，讀完那章後就會發現這件事變得顯然。

其次證y=ax^2,y=bx^2相似

y=ax^2參數式（t,at^2）將圖形依比例放大（縮小）a/b倍，原圖形（t,at^2）對應到新圖形（at/b,a^2t^2/b），而（at/b,a^2t^2/b）就是y=bx^2的參數式，證畢。

補充一點

我記得還有一個推廣的結論：離心率相等的圓錐曲線相似。

離心率：給定一焦點一準線，所有離焦點距離為離準線距離e倍的點所形成的圖形，離心率=e

橢圓形e<1

拋物線e=1

雙曲線e>1

這個和課本上距離和差為定值的定義是等價的。

這個定義我不熟，所以證明我一時也搞不出來，就暫時補充到這裡。

[heinsolid 10]

有個比較直觀的想法，一點和一直線的集合圖形都是相似的，所以它們唯一定義出來的拋物線也都是相似的。

[九把刀卡車 10]

分享我的看法，不知道完不完整。

首先要證明平面座標上拋物線經座標軸平移旋轉後必可以寫成y=ax^2的形式（a>0），證明不好寫，建議參考數甲（上）裡應該有一章講圓錐曲線的旋轉，讀完那章後就會發現這件事變得顯然。

其次證y=ax^2,y=bx^2相似

y=ax^2參數式（t,at^2）將圖形依比例放大（縮小）a/b倍，原圖形（t,at^2）對應到新圖形（at/b,a^2t^2/b），而（at/b,a^2t^2/b）就是y=bx^2的參數式，證畢。

補充一點

我記得還有一個推廣的結論：離心率相等的圓錐曲線相似。

離心率：給定一焦點一準線，所有離焦點距離為離準線距離e倍的點所形成的圖形，離心率=e

橢圓形e<1

拋物線e=1

雙曲線e>1

這個和課本上距離和差為定值的定義是等價的。

這個定義我不熟，所以證明我一時也搞不出來，就暫時補充到這裡。

有關用離心率定義圓錐曲線

我們老師也有提到

內容跟上述一樣

補充:離心率=c/a

[×× 空 ×× 10]

有個比較直觀的想法，一點和一直線的集合圖形都是相似的，所以它們唯一定義出來的拋物線也都是相似的。

好深奧~"~.....

[00 10]

有關用離心率定義圓錐曲線

我們老師也有提到

內容跟上述一樣

補充:離心率=c/a

用這個應該可以推出離心率相等相似

[weiye 10]

有個比較直觀的想法，一點和一直線的集合圖形都是相似的，所以它們唯一定義出來的拋物線也都是相似的。

Great！　這樣想真快～呵呵！

[九把刀卡車 10]

有個比較直觀的想法，一點和一直線的集合圖形都是相似的，所以它們唯一定義出來的拋物線也都是相似的。

有想到另一個解釋方式

所有由正焦弦所形成的那個正方形

因為正方形都相似

所以所有拋物線都是相似型

[phonesents 10]

我有一個想法。

如果拋物線放在直角座標上，

然後去放大每個單位格。

你會發現將之「拉遠再看一次」，

其實就會變成另一個拋物線形式。

再者平移旋轉等不成問題，

可見其圖型屬相似型。

小小的淺見，

純粹是由空間概念切入的。

[ccctheworld 10]

y=ax²+bx+c

y=a(x+b/2a)² + c -b²/4a

如上頂點為(- b/2a , c-b²/4a)

頂點平移到(0,0)的時候

方程式就會剩下y=ax²

那麼拋物線們就只差一個係數a了

因此就拋物線們彼此都是好麻吉^^

[月殤 10]

我有一個想法。

如果拋物線放在直角座標上，

然後去放大每個單位格。

你會發現將之「拉遠再看一次」，

其實就會變成另一個拋物線形式。

再者平移旋轉等不成問題，

可見其圖型屬相似型。

小小的淺見，

純粹是由空間概念切入的。

我也比較贊成用空間概念切入去看

記得有些數學競試題曾考過類似的概念

也是用相同的作法~快狠準！