【問題】兩題不好搞的數學問題

[ckpois 10]

對任意非負整數n而言

證明 n^13-n 恆為182 的倍數

對任意自然數n而言 S(n)定義為n的各個位數總合

試證明 若S(n)=S(2n) 則 n必為9的倍數

[00 10]

第一題用Fermat 小定理

當p是質數時，對任意a有a^p≡a(mod p)，特別(a,p)=1時a^(p-1)≡1(mod p)

n^13≡n^12……≡n(mod2)

n^13≡n^7≡n(mod7)

n^13≡n(mod13)

所以原式是[2,7,13]的倍數，即182的倍數

[00 10]

第二題

由於S(n)≡n(mod9)，S(2n)≡2n(mod9)，又因S(2n)=S(n)，所以n≡2n(mod9)，即n是9的倍數。

[heinsolid 10]

第二題

易知S(n)與n對9同餘，然後S(2n)與2n對9也同餘，所以2n-n=n是9的倍數。

被00搶到了囧。

[00 10]

補充一下Fermat小定理證明

當p是質數時，對任意a有a^p≡a(mod p)，特別(a,p)=1時a^(p-1)≡1(mod p)

若(a,p)=1，考慮1,2...p-1這n-1個數，顯然對p兩兩不同餘且餘數不是0。再來a,2a...,(p-1)a這n-1個數也對p兩兩不同餘且餘數不是0（利用一個同餘性質配合反證法可證明，若xy≡xz(modt)，且(x,t)=1，則y≡z(modt)），故兩組數字可一一對應，對p同餘的配成一對，寫成同餘式，全部相乘(利用同餘性質x≡y(modt)且z≡w(modt)則xz≡yw(modt)這個結論)得(p-1)!≡(p-1)!*a^(p-1)(modp)，因((p-1)!,p)=1，所以a^(p-1)≡1(mod p)（或a^p≡a(mod p)。）

若a和p不互質，p是質數，所以a一定是p的倍數，顯然a^p≡a≡0(mod p)。

類似的有Euler定理，設(a,m)=1，則有a^φ(m)≡1(modm)，φ(m)表不大於m且與m互質的正整數個數。(證法類似)